LVI OM - II - Zadanie 2

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ punkt $ M $ jest środkiem przekątnej $ AC $. Wykazać, że jeżeli

\[<br />
\measuredangle BAD= \measuredangle BMC =\measuredangle CMD<br />
\]

to na czworokącie $ ABCD $ można opisać okrąg.

Rozwiązanie

Oznaczmy: $ \alpha=\measuredangle BAD $.

Jeśli $ \alpha=90^{\circ} $, to punkty $ B $, $ M $, $ D $ leżą na jednej prostej. Wtedy punkty $ A $ i $ C $ są symetryczne względem prostej $ BD $. Stąd $ \measuredangle BCD = \measuredangle BAD = 90^{\circ} $, czyli na czworokącie $ ABCD $ można opisać okrąg.

W dalszym ciągu przyjmijmy, że $ \alpha \neq 90^{\circ} $. Niech $ E $ będzie punktem symetrycznym do punktu $ D $ względem symetralnej odcinka $ AC $ (rys. 1, 2). Wówczas $ \measuredangle BMC= \measuredangle CMD =\measuredangle AME $, skąd wynika, że punkty $ B $, $ M $, $ E $ leżą na jednej prostej. Proste $ AC $ i $ ED $ są równoległe. Zatem gdy $ \alpha<90^{\circ} $ (rys. 1), to

\[<br />
\measuredangle BAD=\measuredangle BMC = \measuredangle BED;<br />
\]

natomiast jeśli $ \alpha>90^{\circ} $ (rys. 2), to

\[<br />
\measuredangle BAD = \measuredangle BMC =180^{\circ}- \measuredangle BMA= 180^{\circ}-\measuredangle BED<br />
\]

W obu przypadkach otrzymana równość oznacza, że punkty $ A $, $ B $, $ D $, $ E $ leżą na jednym okręgu. Ponadto czworokąt o wierzchołkach $ A $, $ C $, $ D $, $ E $ jest trapezem równoramiennym, a więc również punkty $ A $, $ C $, $ D $, $ E $ leżą na jednym okręgu. Zatem punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ leżą na jednym okręgu, co należało wykazać.

om56_2r_img_1.jpg
om56_2r_img_2.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź