LVI OM - II - Zadanie 4

Dany jest wielomian $ W(x)=x^2+ax+b $, o współczynnikach całkowitych, spełniający warunek:

Dla każdej liczby pierwszej $ p $ istnieje taka liczba całkowita $ k $, że liczby $ W(k) $ oraz $ W(k + 1) $ są podzielne przez $ p $. Dowieść, że istnieje liczba całkowita $ m $, dla której

\[<br />
W (m)= W (m +1)=0.<br />
\]

Rozwiązanie

Warunek $ W(m) = W(m +1) = 0 $ oznacza, że $ W(x)=(x-m)(x-m+1) $, czyli $ W(x)=x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m $. Należy zatem wykazać, że istnieje taka liczba całkowita $ m $, że

\[<br />
a=-2m-1\ \textrm{oraz}\ b=m^{2}+m.<br />
\]

Ustalmy liczbę pierwszą $ p $. Wówczas dla pewnej liczby całkowitej $ k $ liczby

\[<br />
A=W(k)=k^{2}+ak+b,<br />
\]
\[<br />
B=W(k+1)=k^{2}+(a+2)k+(a+b+1).<br />
\]

są podzielne przez $ p $. Przez $ p $ dzielą się więc kolejno następujące liczby:

\[<br />
C=B-A=2k+(a+1),<br />
\]
\[<br />
D=2A-kC=(a-1)k+2b,<br />
\]
\[<br />
E=(a-1)C-2D=a^{2}-4b-1.<br />
\]

Liczba $ E $ jest wyznaczona przez współczynniki wielomianu $ W $ i nie zależy od $ k $. Przeprowadzając to rozumowanie dla każdej liczby pierwszej $ p $ stwierdzamy, że liczba $ E $ jest podzielna przez każdą liczbę pierwszą $ p $ i w konsekwencji $ E = 0 $. Stąd wynika, że liczba $ a $ jest nieparzysta, tzn. $ a = -2m-1 $ dla pewnej liczby całkowitej $ m $, oraz $ b= \frac{1}{4}(a^{2}-1)=m^{2}+m $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź