LVI OM - II - Zadanie 6

Liczby $ a $, $ b $, $ c $ należą do przedziału $ \langle 0;1\rangle $. Udowodnić, że

\[<br />
\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2.<br />
\]

Rozwiązanie

Wykażemy, że dla dowolnych liczb $ a $, $ b $, $ c $ należących do przedziału $ \langle 0; 1\rangle $ zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad \frac{a}{bc+1}\leq\frac{2a}{a+b+c}.<br />
\]

Istotnie: jeśli $ a = 0 $, to powyższa nierówność jest spełniona. Dla $ a>0 $ zależność (1) jest równoważna nierówności $ a + b + c \leq 2bc + 2 $, którą można zapisać jako

\[<br />
a \leq 1 + bc + (b- 1)(c-1).<br />
\]

Ostatnia nierówność jest spełniona - wynika ona bezpośrednio z zależności $ a \leq 1 $, $ 0 \leq bc $, $ 0 \leq (b - 1)(c - 1) $. To kończy dowód własności (1).

Analogicznie dowodzimy, że

\[<br />
(2) \qquad \frac{b}{ca+1}\leq\frac{2b}{a+b+c}\ \textrm{oraz}\  \frac{c}{ab+1}\leq\frac{2c}{a+b+c}.<br />
\]

Dodając stronami nierówności (1) oraz (2) uzyskujemy tezę.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź