LVI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie trójki $ (x,y,n) $ liczb całkowitych dodatnich spełniające równanie

\[<br />
(x-y)^n=xy.<br />
\]

Rozwiązanie

Dla $ n = 1 $ podane równanie ma postać $ (x + 1)(y - 1) = -1 $, więc nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich. Przyjmijmy zatem, że $ n \geq 2 $.

Niech $ z = x - y $. Dane równanie przybiera postać $ x^{2}-xz =z^{n} $. Po przemnożeniu przez 4 i prostym przekształceniu uzyskujemy

\[<br />
(1) \qquad (2x-z)^{2}=z^{2}(1+4z^{n-2}).<br />
\]

Stąd wynika, że czynnik $ 1+4z^{n-2} $ jest kwadratem liczby całkowitej. Ponieważ jest to liczba nieparzysta większa od 1, więc dla pewnej liczby całkowitej dodatniej $ t $ mamy $ 1+4z^{n-2}=(2t+1)^{2} $, czyli

\[<br />
z^{n-2}=t(t+1).<br />
\]

Dla $ n = 2 $ uzyskujemy $ 1 = t(t + 1) $, co nie może być spełnione, gdyż liczba $ t(t + 1) $ jest parzysta dla każdej liczby całkowitej $ t $. Zatem jeśli $ n = 2 $, to dane równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

Dla $ n = 3 $ mamy $ z = t(t+ 1) $. Wstawiając to wyrażenie do równania (1) wyznaczamy niewiadomą $ x $. Po kilku przekształceniach otrzymujemy

\[<br />
x=t(t+1)^{2}\ \text{lub}\ x=-t^{2}(t+1).<br />
\]

Ponieważ $ t> 0 $, a $ x $ jest liczbą dodatnią, to druga z wyznaczonych wartości $ x $ odpada. Ponadto $ y=x-z =t(t+1)^{2}-t(t+1)=t^{2}(t+1) $. Znaleźliśmy w ten sposób następujące trójki:

\[<br />
(2) \qquad (x,y,n) =(t(t+1)^{2},\ t^{2}(t+1), 3),\  \textrm{gdzie}\ t =1,2,3, \ldots<br />
\]

Bezpośrednio sprawdzamy, że są one rozwiązaniami danego równania.

Pozostał do rozpatrzenia przypadek $ n \geq 4 $. Ponieważ liczby $ t $, $ t + 1 $ są względnie pierwsze, a ich iloczyn jest $ (n-2) $-gą potęgą liczby całkowitej dodatniej, to każda z tych liczb musi być $ (n-2) $-gą potęgą liczby całkowitej dodatniej. Jednak dla $ n \geq 4 $ nie istnieją dwie kolejne liczby całkowite dodatnie będące $ (n-2) $-gimi potęgami liczb całkowitych. Zatem jeśli $ n \geq 4 $, to dane równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

Reasumując: dane równanie ma rozwiązanie $ (x,y) $ w liczbach całkowitych dodatnich tylko dla $ n = 3 $. Wszystkie rozwiązania są dane wzorem (2).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź