LVI OM - III - Zadanie 2

Punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ leżą, w tej właśnie kolejności, na okręgu $ o $. Punkt $ S $ leży wewnątrz okręgu $ o $ i spełnia warunki

\[<br />
\measuredangle SAD = \measuredangle SCB \ \textrm{oraz}\ \measuredangle SDA = \measuredangle SBC.<br />
\]

Prosta zawierająca dwusieczną kąta $ ASB $ przecina okrąg $ o $ w punktach $ P $ i $ Q $. Dowieść, że $ PS = QS $.

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że proste $ AS $, $ BS $, $ CS $ przecinają okrąg $ o $ po raz drugi odpowiednio w punktach $ E $, $ F $, $ G $ (rys. 1). Z danych w zadaniu równości wynika podobieństwo trójkątów $ ASD $ i $ CSB $, a stąd

\[<br />
\frac{AS}{CS}=\frac{DS}{BS} \ \textrm{oraz}\ \measuredangle BSC =\measuredangle DSA,<br />
\]

więc i $ \measuredangle ASC = \measuredangle DSB $. Równości te dowodzą, że trójkąty $ ASC $ i $ DSB $ są podobne, skąd w szczególności dostajemy $ \measuredangle ACS = \measuredangle DBS $. Stąd wniosek, że łuki $ GA $ i $ FD $ okręgu $ o $ są równe (pisząc „łuk $ XY $" mamy na myśli łuk biegnący wzdłuż okręgu $ o $ od punktu $ X $ do punktu $ Y $ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara). Analogicznie, z równości $ \measuredangle SAD = \measuredangle SCB $ wnioskujemy, że łuki $ GB $ i $ ED $ są równe. Zatem także łuki $ AB $ i $ EF $ są równe.

om56_3r_img_1.jpg
om56_3r_img_2.jpg

Czworokąt $ ABEF $ jest więc trapezem równoramiennym, a punkt $ S $ jest punktem przecięcia jego przekątnych (rys. 2). Przyjmijmy, że punkt $ P $ leży na tym łuku $ AB $ okręgu $ o $, który nie zawiera punktów $ C $ i $ D $. Z równości

\[<br />
\measuredangle PSA = \frac{1}{2}\measuredangle ASB =\frac{1}{2}(\measuredangle FAS+\measuredangle AFS)=\measuredangle  FAS<br />
\]

wynika, że prosta $ PQ $ jest równoległa do prostych $ BE $ i $ AF $. Stąd wniosek, że punkty $ A $, $ P $, $ B $ są odpowiednio obrazami punktów $ F $, $ Q $, $ E $ w symetrii względem symetralnej odcinków $ AF $ i $ BE $. Zatem $ PS = QS $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź