LVI OM - III - Zadanie 3

W kwadratowej tablicy o wymiarach $ 2n \times 2n $, gdzie $ n $ jest liczbą naturalną, znajduje się $ 4n^2 $ liczb rzeczywistych o sumie równej 0 (na każdym polu tablicy jedna liczba). Wartość bezwzględna każdej z tych liczb jest nie większa od 1. Dowieść, że wartość bezwzględna sumy wszystkich liczb z pewnego rzędu (poziomego lub pionowego) nie przekracza $ n $.

Rozwiązanie

Ponumerujmy wiersze i kolumny danej tablicy liczbami $ 1,2,\ldots, 2n $.

Niech $ r_1,r_2,\ldots ,r_{2n} $ będą sumami liczb napisanych w wierszach o numerach $ 1,2,\ldots,2n $, a $ c_1,c_2,\ldots,c_{2n} $ sumami liczb znajdujących się w kolumnach o numerach $ 1,2,\ldots,2n $. Zmieniając numerację wierszy oraz kolumn możemy założyć, że $ r_1 \geq r_2 \geq \ldots \geq r_{2n} $ oraz $ c_i \geq c_2 \geq \ldots \geq c_{2n} $.

Oznaczmy przez $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ sumy liczb w czterech ćwiartkach tablicy, jak pokazuje rysunek 3.

Wówczas $ A + B + C + D = 0 $, skąd wynika, że w ciągu $ (A,B,C,D,A) $ istnieją dwie kolejne liczby, z których jedna jest nieujemna, a druga niedodatnia. Przyjmijmy na przykład, że $ AB \leq 0 $. Rozumowanie w pozostałych przypadkach jest analogiczne.

om56_3r_img_3.jpg

Liczby $ A $ i $ B $ powstały z sumowania $ n^2 $ liczb rzeczywistych o wartości bezwzględnej nie większej niż 1, a więc $ |A| \leq n^2 $ oraz $ |B| \leq n^2 $. Jedna z liczb $ A $, $ B $ jest nieujemna, a druga niedodatnia, więc $ |A + B| \leq max(|A|,|B|) \leq n^2 $. Stąd otrzymujemy również $ |C + D| = | A + B| \leq n^2 $.

Jeżeli $ r_n \geq 0 $, to liczby $ r_1 ,r_2,\ldots,r_n $ są nieujemne. Wtedy ich suma $ A + B $ jest też nieujemna, skąd uzyskujemy $ r_1 + r_2 +\ldots + r_n = A + B \leq n^2 $. Zatem co najmniej jedna z (nieujemnych) liczb $ r_1,r_2,\ldots ,r_n $ nie przekracza $ n $.

Jeżeli natomiast $ r_n < 0 $, to liczby $ r_{n+1},r_{n+2},\ldots, r_{2n} $ są ujemne i ich suma wynosi $ C + D $. Wtedy $ |r_{n+1}| + |r_{n+2}| +\ldots + |r_{2n}| = |C + D|\leq n^2 $. Stąd wynika, że co najmniej jedna z liczb $ |r_{n+1}, |r_{n+2}|,\ldots,|r_{2n}| $ nie przekracza $ n $.

To dowodzi zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź