LVI OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba rzeczywista $ c> -2 $. Dowieść, że jeżeli liczby $ x_1, x_2,... ,x_n $ ($ n \geq 2 $) są dodatnie oraz

\[<br />
\begin{array}{r}<br />
\sqrt{x_{1}^{2}+cx_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}+cx_{2}x_{3}+x_{3}^{2}}+\ldots+\sqrt{x_{n}^{2}+cx_{n}x_{1}+x_{1}^{2}}=\\<br />
=\sqrt{c+2}(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}),<br />
\end{array}<br />
\]

to $ c =2 $ lub $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n $.

Rozwiązanie

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

\[<br />
a_{i}=\sqrt{c+2}(x_{i}+x_{i+1})\ \textrm{oraz}\ b_{i}=2\sqrt{x_{i}^{2}+cx_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}}\ \textrm{dla}\ i=1,2, \ldots, n,<br />
\]

przyjmując $ x_{n+1} = x_1 $. Liczby $ a_i $ są dodatnie. Redukując wyrazy podobne otrzymujemy zależność $ a_{i}^{2}-b_{i}^{2}=(c-2)(x_{i}-x_{i+1})^{2} $. Stąd oraz z danej w treści zadania równości dostajemy

\[<br />
0=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})=\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}^{2}-b_{i}^{2}}{a_{i}+b_{i}}=(c-2)\sum_{i=1}^{n}\frac{(x_{i}-x_{i+1})^{2}}{a_{i}+b_{i}}.<br />
\]

Prawa strona powyższej równości jest równa 0 jedynie wtedy, gdy $ c = 2 $ lub $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź