LV OM - I - Zadanie 1

Dany jest wielokąt o bokach długości wymiernej, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe $ 90^{\circ} $ lub $ 270^{\circ}  $. Z ustalonego wierzchołka wypuszczamy promień świetlny do wnętrza wielokąta w kierunku dwusiecznej kąta wewnętrznego przy tym wierzchołku. Promień odbija się zgodnie z zasadą: kąt padania jest równy kątowi odbicia. Udowodnić, że promień trafi w jeden z wierzchołków wielokąta.

Rozwiązanie

Ponieważ każdy kąt wewnętrzy rozpatrywanego wielokąta $ \mathcal{W} $ wynosi $ 90^{\circ}  $ lub $ 270^{\circ}  $, więc wszystkie boki tego wielokąta (po odpowiednim jego obrocie) są ustawione poziomo lub pionowo (rys. 1). Niech $ p_1/q_1,p_2/q_2,\ldots,p_n/q_n $ będą długościami kolejnych boków wielokąta $ \mathcal{W} $, przy czym każda z liczb $ p_1,p_2, \ldots ,p_n $, $ q_1,q_2,\ldots,q_n $ jest całkowita dodatnia.

Rozpatrzmy kwadratową kratę, w której każdy mały kwadracik ma bok długości $ 1/(q_1q_2\ldots q_n) $. Wówczas wielokąt $ \mathcal{W} $ można tak umieścić na tej kracie, by każdy jego bok był zawarty w pewnej prostej wyznaczającej kratę (rys. 1). Promień świetlny wypuszczony z wierzchołka wielokąta $ \mathcal{W} $ zgodnie z podanymi zasadami porusza się wtedy wzdłuż przekątnych kwadratów kraty i odbija od boków wielokąta $ \mathcal{W} $ w punktach kratowych.

om55_1r_img_1.jpg

Przypuśćmy, że promień świetlny nie trafił w żaden wierzchołek wielokąta $ \mathcal{W} $. Odbijał się on zatem od boków wielokąta dowolnie wiele razy. Stąd wynika, że promień trafił co najmniej trzykrotnie w pewien punkt $ \mathcal{P} $ leżący na obwodzie wielokąta $ \mathcal{W} $. Zatem co najmniej dwukrotnie promień trafił w punkt $ \mathcal{P} $ poruszając się z tego samego kierunku. To oznacza, że trajektoria promienia jest okresowa, co nie jest możliwe, gdyż promień rozpoczął swój bieg z wierzchołka wielokąta $ \mathcal{W} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź