LV OM - I - Zadanie 2

Rozstrzygnąć, czy istnieje liczba pierwsza $ p $ oraz liczby całkowite nieujemne $ x $, $ y $, $ z $ spełniające równanie

\[<br />
(12x + 5)(12y + 7)= p^z.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że istnieją liczby $ p $, $ x $, $ y $, $ z $ spełniające dane w zadaniu równanie. Skoro $ p $ jest liczbą pierwszą, to dzielnikami liczby $ p^z $ są tylko potęgi liczby $ p $. Zatem istnieją takie liczby całkowite nieujemne $ a $, $ b $, że $ 12x + 5 = p^a $ oraz $ 12y + 7 = p^b $. Stąd widać, że liczba $ p $ jest nieparzysta i niepodzielna przez 3, jest więc postaci $ 6k + 1 $ lub $ 6k - 1 $, gdzie $ k $ jest liczbą całkowitą dodatnią. Wówczas

\[<br />
p^2 = 36k^2 \pm 12k +1 = 12(3k^2 \pm k) +1,<br />
\]

skąd wynika, że

\[<br />
(*) \qquad p^{n}\equiv\left\{\begin{array}{ll}<br />
1(\mathrm{mod}\ 12),&\textrm{gdy $n$ jest liczbą parzystą,}\\<br />
p(\mathrm{mod}\ 12),&\textrm{gdy $n$ jest liczbą nieparzystą.}<br />
\end{array}\right.<br />
\]

Z drugiej strony, $ p^a \equiv 5 (\mathrm{mod}\ 12) $ oraz $ p^b = 7 (\mathrm{mod}\ 12) $. Ale na mocy zależności (*) obie te kongruencje nie mogą zachodzić jednocześnie. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nie istnieją liczby spełniające podane warunki.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź