LV OM - I - Zadanie 3

Niech $ \mathbb{Q} $ oznacza zbiór wszystkich liczb wymiernych. Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} $ spełniające warunek

\[<br />
(1) \qquad f (x^2 + y) = xf (x) + f (y)<br />
\]

dla każdej pary liczb wymiernych $ x $, $ y $.

Rozwiązanie

Sposób I.

Niech $ n $ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Wykażemy indukcyjnie, że dla dowolnej liczby wymiernej $ y $ oraz dowolnej liczby całkowitej dodatniej $ k $ zachodzi równość

\[<br />
(2) \qquad f\left(\frac{k}{n^{2}}+y\right)=\frac{k}{n}\cdot f\left(\frac{1}{n}\right)+f(y).<br />
\]

Dla $ k = 1 $ równość (2) uzyskujemy bezpośrednio z zależności (1) podstawiając $ x = 1/n $. Załóżmy teraz, że równość (2) jest spełniona dla liczby $ k $ oraz wszystkich liczb wymiernych $ y $. Wówczas

\[<br />
\begin{array}{rcl}<br />
f\left(\frac{k+1}{n^{2}}+y\right)&=&f\left(\frac{k}{n^{2}}+\left(\frac{1}{n^{2}}+y\right)\right)=\frac{k}{n}\cdot f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{1}{n^{2}}+y\right)=\\<br />
&=&\frac{k}{n}\cdot f\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n}\cdot f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(y\right)=\frac{k+1}{n}\cdot f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(y\right),<br />
\end{array}<br />
\]

co kończy dowód indukcyjny zależności (2).

Kładąc w równaniu (1) $ x=y = - 1 $ dostajemy $ f(0) = -f(-1) + f(-1) = 0 $. Podstawiając następnie $ y = 0 $ i $ k = n^2 $ do zależności (2) otrzymujemy

\[<br />
(3) \qquad f\left(\frac{1}{n}\right)= \frac{f(1)}{n}\ \textrm{dla}\ n=1,2,3, \ldots.<br />
\]

Przyjmując z kolei w równości (2) $ k = m \cdot n $, gdzie $ m $ jest pewną liczbą całkowitą dodatnią, oraz wykorzystując zależność (3) mamy

\[<br />
(4)\qquad f\left(\frac{m}{n}+y\right)=m\cdot f\left(\frac{1}{n}\right)+f(y)=f(1)\cdot\frac{m}{n}+f(y)<br />
\]

dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich $ m $ i $ n $ oraz wymiernych $ y $. Podstawiając wreszcie $ y = 0 $ oraz $ y = -m/n $ w równości (4) uzyskujemy odpowiednio

\[<br />
(5)\qquad f\left(\frac{m}{n}\right)=f(1)\cdot \frac{m}{n}\ \textrm{oraz}\<br />
f\left(-\frac{m}{n}\right)=-f(1)\cdot \frac{m}{n}<br />
\]

dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich $ m $, $ n $. Niech $ a = f(1) $. Ze związków (5) oraz z równości $ f(0) = 0 $ wynika, że $ f(x) = ax $ dla wszystkich liczb wymiernych $ x $.

Bezpośrednio sprawdzamy, że każda funkcja określona wzorem $ f(x) = ax $, gdzie $ a $ jest liczbą wymierną, spełnia warunki zadania.

Sposób II.

Niech $ a = f(1) $. Wówczas dla dowolnej liczby wymiernej $ x $ mamy

\[<br />
\begin{array}{rcl}<br />
f(-x)&=&f(x^{2}-x)-xf(x)=f((x-1)^{2}+(x-1))-xf(x)=\\<br />
&=&(x-1)f(x-1)+f(x-1)-xf(x)=\\<br />
&=&x(f(x-1)-f(1^{2}+(x-1)))=-xf(1)=-ax,\\<br />
\end{array}<br />
\]

skąd $ f(x) = ax $ dla dowolnej liczby wymiernej $ x $.

Bezpośrednio sprawdzamy, że każda funkcja określona wzorem $ f(x) = ax $, gdzie $ a $ jest liczbą wymierną, spełnia warunki zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź