LV OM - I - Zadanie 4

Dany jest trójkąt ostrokątny $ ABC $. Rozważamy wszystkie takie trójkąty równoboczne $ XYZ $, że punkty $ A $, $ B $, $ C $ są odpowiednio punktami wewnętrznymi odcinków $ YZ $, $ ZX $, $ XY $. Dowieść, że środki ciężkości wszystkich rozważanych trójkątów $ XYZ $ leżą na jednym okręgu.

Rozwiązanie

Jeśli trójkąt $ ABC $ jest równoboczny, to środki ciężkości wszystkich rozważanych trójkątów $ XYZ $ pokrywają się ze środkiem ciężkości trójkąta $ ABC $. Punkt ten leży oczywiście na każdym okręgu, który przezeń przechodzi.

Załóżmy więc, że trójkąt $ ABC $ nie jest równoboczny. Wtedy bez straty ogólności możemy przyjąć, że $ \measuredangle ACB> 60^{\circ}  $. Niech $ P $ i $ Q $ będą takimi punktami leżącymi wewnątrz kąta wypukłego $ ACB $, że

\[<br />
\measuredangle PBC = \measuredangle PCB = \measuredangle QAC = \measuredangle QCA = 30^{\circ} .<br />
\]

Niech ponadto $ R $ będzie takim punktem leżącym po tej samej stronie prostej $ PQ $, co punkt $ C $, że trójkąt $ PQR $ jest równoboczny (rys. 2, 3). Wykażemy, że środki ciężkości wszystkich rozpatrywanych trójkątów $ XYZ $ leżą na okręgu opisanym na trójkącie $ PQR $, co zakończy rozwiązanie zadania.

Z równości $ \measuredangle BPC+ \measuredangle BXC = 120^{\circ}  +60^{\circ}  = 180^{\circ}  $ wnioskujemy, że na czworokącie $ BXCP $ można opisać okrąg. Stąd $ \measuredangle PXB = \measuredangle PCB = 30^{\circ}  $ co oznacza, że prosta $ XP $ przechodzi przez środek ciężkości $ S $ trójkąta $ XYZ $. Analogicznie dowodzimy, że prosta $ YQ $ przechodzi przez $ S $. Pozostaje zatem wykazać, że punkt $ S $ leży na okręgu opisanym na trójkącie $ PQR $.

om55_1r_img_2_3.jpg

Ponieważ $ \measuredangle ACB > 60^{\circ}  $, więc możliwe są następujące dwa przypadki:

  1. Punkt $ S $ nie należy do odcinków $ XP $ i $ YQ $ (rys. 2). Wówczas

    \[<br />
\measuredangle  PSQ = \measuredangle XSY = 120^{\circ}  = 180^{\circ}  - \measuredangle PRQ,<br />
\]

    co oznacza, że punkt $ S $ leży na okręgu opisanym na trójkącie $ PQR $.

  2. Punkt $ S $ leży na jednym z odcinków $ XP $ lub $ YQ $. Bez straty ogólności przyjmijmy, że punkt $ S $ należy do odcinka $ XP $ (rys. 3). Wówczas

    \[<br />
\measuredangle  PSQ = \measuredangle PSY = 60^{\circ}  = \measuredangle PRQ,<br />
\]

    co dowodzi, że punkty $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ leżą na jednym okręgu.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź