LV OM - I - Zadanie 6

Niech $ c $ będzie taką liczbą rzeczywistą, że wielomian

\[<br />
P(x) = x^5 - 5x^3 + 4x - c<br />
\]

ma pięć różnych pierwiastków rzeczywistych $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $, $ x_4 $, $ x_5 $. Wyznaczyć, w zależności od $ c $, sumę wartości bezwzględnych współczynników wielomianu

\[<br />
Q(x)=(x-x_{1}^{2})(x-x_{2}^{2})(x-x_{3}^{2})(x-x_{4}^{2})(x-x_{5}^{2}).<br />
\]

Rozwiązanie

Z równości

\[<br />
\begin{array}{rcl}<br />
Q(x^{2})&=&(x^{2}-x_{1}^{2})(x^{2}-x_{2}^{2})(x^{2}-x_{3}^{2})(x^{2}-x_{4}^{2})(x^{2}-x_{5}^{2})=\\<br />
&=&(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})(x-x_{5})\\<br />
&&\quad\cdot (x+x_{1})(x+x_{2})(x+x_{3})(x+x_{4})(x+x_{5})=\\<br />
&=&P(x)\cdot(-P(-x))=(x^{5}-5x^{3}+4x-c)\cdot(x^{5}-5x^{3}+4x+c)=\\<br />
&=&(x^{5}-5x^{3}+4x)^{2}-c^{2}=x^{10}-10x^{8}+33x^{6}-40x^{4}+16x^{2}-c^{2}<br />
\end{array}<br />
\]

wnioskujemy, że

\[<br />
Q(x) = x^5 - 10x^4 + 33x^3 - 40x^2 + 16x - c^2 \  \textrm{dla wszystkich}\ x \geq 0 .<br />
\]

Wyrażenia po obu stronach tej równości są wielomianami. Stąd wynika, że uzyskany wzór jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej $ x $. Zatem suma wartości bezwzględnych współczynników wielomianu $ Q(x) $ wynosi:

\[<br />
1 + 10 + 33 + 40 + 16 + c^2 = 100 + c^2.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź