LV OM - I - Zadanie 7

Znaleźć wszystkie takie rozwiązania równania $ a^2+b^2=c^2 $ w liczbach całkowitych dodatnich, że liczby $ a $ i $ c $ są pierwsze, a liczba $ b $ jest iloczynem co najwyżej czterech liczb pierwszych.

Rozwiązanie

Odpowiedź: Istnieją trzy rozwiązania $ (a,b,c): (3,4,5), (5,12,13), (11,60,61) $. Niech $ a $, $ b $, $ c $ będą liczbami spełniającymi warunki zadania. Wówczas

\[<br />
a^2 = c^2 - b^2 = (c - b)(c + b),<br />
\]

skąd wobec założenia, że liczba $ a $ jest pierwsza, otrzymujemy $ c= b+ 1 $. Zatem $ a^2 = 2b+ 1 $, skąd wynika, że liczba $ a $ jest nieparzysta.

Niech $ a = 2n+ 1 $. Wtedy

\[<br />
b=\frac{1}{2}(a^{2}-1)=2n(n+1)\ \textrm{oraz}\ c=2n^{2}+2n+1.<br />
\]

Jeśli liczba $ n $ daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, to liczba $ a $ jest podzielna przez 3. Zatem jest ona złożona, poza przypadkiem $ n = 1 $, który daje rozwiązanie $ (a,b, c) = (3,4,5) $. Jeśli z kolei liczba $ n $ daje przy dzieleniu przez 5 resztę 2, to liczba $ a $ jest podzielna przez 5. Zatem jest ona złożona, poza przypadkiem, gdy $ n = 2 $. Przypadek ten daje drugie rozwiązanie $ (a,b,c) = (5,12,13) $.

Jeśli natomiast liczba $ n $ daje przy dzieleniu przez 5 resztę 1 lub 3, to liczba $ c $ jest podzielna przez 5. Zatem jest ona złożona poza przypadkiem $ n = 1 $, który już rozpatrzyliśmy.

Pozostał jeszcze do rozpatrzenia przypadek, gdy liczba $ n $ daje przy dzieleniu przez 3 resztę 0 lub 2, a przy dzieleniu przez 5 resztę 0 lub 4. Wówczas liczba $ b $ jest podzielna przez $ 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60 $. Z drugiej strony, liczba $ b $ jest iloczynem co najwyżej czterech liczb pierwszych, skąd wynika, że $ b= 60 $. Przypadek ten prowadzi do trzeciego rozwiązania: $ (a, b, c) = (11, 60, 61) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź