LV OM - I - Zadanie 8

Punkt $ P $ leży wewnątrz czworościanu $ ABCD $. Dowieść, że

\[<br />
\measuredangle APB + \measuredangle BPC + \measuredangle CPD + \measuredangle DPA> 360^{\circ} .<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ K $ punkt przecięcia płaszczyzny $ CDP $ z krawędzią $ AB $ oraz przez $ L $ punkt przecięcia płaszczyzny $ ABP $ z krawędzią $ CD $ (rys. 4).

Analogicznie, niech $ M $ będzie punktem przecięcia płaszczyzny $ ADP $ i krawędzi $ BC $ oraz niech $ N $ oznacza punkt wspólny płaszczyzny $ BCP $ i krawędzi $ AD $.

om55_1r_img_4.jpg

Punkty $ K $, $ P $ i $ L $ należą do części wspólnej płaszczyzn $ ABP $ i $ CDP $, leżą więc na jednej prostej. Analogicznie, punkty $ M $, $ P $ i $ N $ leżą na jednej prostej. Stąd wynika, że punkty $ K $, $ L $, $ M $, $ N $ i $ P $ leżą w jednej płaszczyźnie. Zatem

\[<br />
\begin{array}{l}<br />
\measuredangle APB + \measuredangle BPC + \measuredangle CPD + \measuredangle DPA =\\<br />
\qquad\qquad= \measuredangle KPB + \measuredangle BPM + \measuredangle MPC + \measuredangle CPL\\<br />
\qquad\qquad\quad+ \measuredangle LPD + \measuredangle DPN + \measuredangle NPA + \measuredangle APK >\\<br />
\qquad\qquad> \measuredangle KPM + \measuredangle MPL + \measuredangle LPN + \measuredangle NPK = 360^{\circ},<br />
\end{array}<br />
\]

co kończy rozwiązanie zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź