LV OM - I - Zadanie 9

Dane są wielomiany $ W_1(x),W_2(x), W_3(x),\ldots, W_n(x) $ stopnia co najmniej 1, o współczynnikach całkowitych. Wykazać, że dla pewnej liczby całkowitej $ a $ wszystkie liczby

\[<br />
W_1(a), W_2(a), W_3(a),\ldots, W_n(a)<br />
\]

są złożone.

Rozwiązanie

Dane wielomiany mają stopień co najmniej 1, więc istnieje taka liczba naturalna $ x_0 $, że dla $ i = 1,2,\ldots,n $ liczby $ c_i = |W_i(x_0)| $ są większe od 1 oraz $ |W_i(x)| >c_i $ dla wszystkich $ x>x_0 $.

Niech $ a = x_o + c_1 c_2 \ldots c_n $. Wykażemy, że liczby

\[<br />
W_1(a),W_2(a),W_3(a),\ldots,W_n(a)<br />
\]

są złożone, co zakończy rozwiązanie zadania.

Z zależności $ a \equiv x_0 (\mathrm{mod}\ c_i) $ wynika, że $ W_i(a) \equiv W_i(x_0) (\mathrm{mod}\ c_i) $. Ponieważ $ c_i = |W_i(x_0)| $, więc liczba $ W_i(a) $ jest podzielna przez $ c_i $. Ponadto $ a>x_0 $, co daje $ |W_i(a)| > c_i $. Zatem dla $ i = 1, 2, \ldots , n $ liczba $ W_i(a) $ jest złożona.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź