LV OM - I - Zadanie 10

Dany jest wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków. Każdy bok wielokąta ma długość 2 lub 3, przy czym liczba boków każdej z tych długości jest parzysta. Dowieść, że istnieją dwa wierzchołki wielokąta, które dzielą jego obwód na dwie części jednakowej długości.

Rozwiązanie

Niech liczba boków wielokąta będzie równa $ 2n $. Oznaczmy wierzchołki wielokąta kolejno $ A_1, A_2, A_3, \ldots A_{2n} $. Dla $ i = 1, 2, \ldots 2n $ niech

\[<br />
\begin{array}{l}<br />
f(i) = A_i A_{i+1} + A_{i+1} A_{i+2} + A_{i+2} A_{i+3} + \ldots + A_{i+n-1}A_{i+n} +\\<br />
\qquad - A_{i+n}A_{i+n+1} - A_{i+n+1}A_{i+n+2} - A_{i+n+2}A_{i+n+3} - \ldots - A_{i+2n-1}A_i ,<br />
\end{array}<br />
\]

gdzie $ A_{k+2n} = A_k $ dla $ k = 1, 2, \ldots, 2n-1 $. Innymi słowy, $ f(i) $ jest różnicą długości części, na które dzielą obwód wielokąta punkty $ A_i $ oraz $ A_{i+n} $.

Wówczas dla $ i = 1, 2, \ldots , 2n $ liczba $ f(i) $ jest całkowita parzysta oraz

\[<br />
\begin{array}{rcl}<br />
|f(i + 1) -  f(i)| &=& |2 \cdot A_{i+n}A_{i+n+1} - 2 \cdot A_iA_{i+1}| =\\<br />
&=& 2 \cdot |A_{i+n}A_{i+n+1} - A_i A_{i+1}| \leq 2 .<br />
\end{array}<br />
\]

Ponadto $ f(i) = -f(i + n) $. Stąd wynika, że ciąg liczb

\[<br />
f(1), f(2),\ldots, f(n + 1) = -f(1)<br />
\]

składa się z liczb parzystych, a jego kolejne wyrazy różnią się o nie więcej niż 2. Zatem istnieje takie $ i $, że $ f(i) = 0 $, a to właśnie należało udowodnić.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź