LV OM - I - Zadanie 11

Punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trapezie równoramiennym $ ABCD $ o podstawach $ AB $ i $ CD $. Punkty $ K $, $ L $, $ M $, $ N $ leżą odpowiednio na bokach $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $, przy czym czworokąt KLMN jest rombem. Udowodnić, że punkt $ O $ leży na prostej $ KM $.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ P $, $ Q $, $ R $ odpowiednio środki odcinków $ AD $, $ BC $, $ KM $ (rys. 5). Wówczas punkty $ P $, $ Q $ i $ R $ leżą na jednej prostej - równoległej do podstaw trapezu $ ABCD $. Przez punkt $ L $ poprowadźmy prostą równoległą do podstaw trapezu $ ABCD $, przecinającą odcinek $ AD $ w punkcie $ S $.

om55_1r_img_5.jpg

Ponieważ punkt $ R $ jest środkiem przekątnej $ KM $ rombu $ KLMN $, więc jest on również środkiem drugiej przekątnej tego rombu, czyli odcinka $ NL $. Zatem z równoległości prostych $ PR $ i $ SL $ wnioskujemy, że $ NP = PS $. Punkt $ P $ jest środkiem odcinka $ AD $, więc $ OP\perp AD $. Ta własność, równość $ NP = PS $ oraz fakt, iż punkt $ O $ leży na symetralnej odcinków $ AB $, $ CD $ i $ LS $ dają

\[<br />
ON = OS = OL.<br />
\]

Stąd wynika, że punkt $ O $ leży symetralnej odcinka $ NL $, czyli na prostej $ KM $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź