LV OM - I - Zadanie 12

Dana jest liczba całkowita $ n \geq 5 $. Wyznaczyć liczbę rozwiązań w liczbach rzeczywistych $ x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n $ układu równań

\[<br />
x_{i-2}^{3}+x_{i-1}^{3}+x_{i}^{3}=x_{i}^{4}+x_{i+1}^{3}+x_{i+2}^{2}\ \textrm{dla}\ i=1,2,3, \ldots, n,<br />
\]

gdzie $ x_{-1}=x_{n-1}, $ $ x_{0}=x_{n}, $ $ x_{1}=x_{n+1}, $ $ x_{2}=x_{n+2} $.

Rozwiązanie

Dodając równania stronami otrzymujemy

\[<br />
3\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{4}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2},\ \textrm{czyli}\ \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}(x_{i}-1)^{2}=0.<br />
\]

Zatem liczby $ x_1,x_2,\ldots ,x_n $ przyjmują wartości 0 lub 1. Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia liczby rozwiązań układu równań

\[<br />
\left\{\begin{array}{c}<br />
x_1+x_2=x_4+x_5\\<br />
x_2+x_3=x_5+x_6\\<br />
x_3+x_4=x_6+x_7\\<br />
\vdots\\<br />
x_{n-2}+x_{n-1}=x_1+x_2\\<br />
x_{n-1}+x_n=x_2+x_3\\<br />
x_n+x_1=x_3+x_4\\<br />
\end{array}\right.<br />
\]

w liczbach należących do zbioru $ \{0,1\} $.

Zauważmy, że układ równań (1) jest spełniony, gdy $ x_i = x_2 =\dots = x_n = 1 $ lub gdy $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n =0 $.

Załóżmy, że liczba $ n $ nie jest podzielna przez 3. Wówczas uzyskujemy

\[<br />
x_1 + x_2 = x_4 + x_5 = x_7 + x_8 = \ldots = x_n + x_1,<br />
\]

skąd $ x_n=x_2 $. Analogicznie dowodzimy, że $ x_i=x_{i+2} $ dla $ i = 1,2,\ldots,n-1 $. Zatem jeżeli $ n $ jest liczbą nieparzystą i niepodzielną przez 3, to jedynymi rozwiązaniami $ (x_1 , x_2 , \ldots , xn ) $ układu (1) są $ (0,0,0,\ldots,0) $ i $ (1,1,1,\ldots, 1) $. Natomiast dla liczb parzystych $ n $, niepodzielnych przez 3, otrzymujemy dwa dodatkowe rozwiązania $ (x_1,x_2,\ldots,xn) $, a mianowicie

\[<br />
(0,1,0,1,\ldots, 0,1)\ \textrm{oraz}\ (1,0,1,0,..., 1,0).<br />
\]

Załóżmy teraz, że liczba $ n $ jest podzielna przez 3. Wówczas układ równań (1) ma co najmniej 8 rozwiązań: niewiadome mogą się powtarzać okresowo z okresem 3.

Zbadajmy istnienie rozwiązań $ (x_1,x_2,x_3,\ldots ,x_n) $, które nie są okresowe z okresem 3. Bez szkody dla ogólności przyjmijmy, że $ x_1 = x_4 $. Wówczas równość $ x_1 + x_2 = x_4+x_5 $ jest możliwa tylko wtedy, gdy $ x_1 + x_2 = 1 $. Stąd $ x_1 = x_2 $ oraz $ x_2 = x_5 $.

Powtarzając rozumowanie stwierdzamy, że $ x_2 = x_3 $ oraz $ x_3 = x_6 $, skąd dla dowolnego $ i $ mamy $ x_i = x_{i+1} $. Zatem niewiadome muszą być na przemian równe 0 i 1, co jest możliwe tylko dla $ n $ parzystego.

Podsumowując: liczba rozwiązań danego układu równań wynosi:

  • 2 dla $ n $ względnie pierwszych z 6;
  • 4 dla $ n $ parzystych niepodzielnych przez 3;
  • 8 dla $ n $ nieparzystych podzielnych przez 3;
  • 10 dla $ n $ podzielnych przez 6.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź