LV OM - II - Zadanie 1

Liczby dodatnie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełniają układ równań

\[<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
a^3 + b^3 + c^3 = 3d^3\\<br />
b^4 + c^4 + d^4 = 3a^4\\<br />
c^5 + d^5 + a^5 = 3b^5.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Udowodnić, że $ a = b = c = d $.

Rozwiązanie

Niech $ \langle p,q\rangle $ będzie najmniejszym przedziałem zawierającym liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $. Wówczas co najmniej jedna z liczb $ d $, $ a $, $ b $ pokrywa się z końcem (lewym lub prawym) przedziału $ \langle p,q\rangle $.

Jeśli $ d=p $, to na mocy pierwszej równości mamy $ 3d^3 = a^3 + b^3 + c^3 \geq 3d^3 $. Stąd wynika, że każda z liczb $ a $, $ b $, $ c $ musi być równa $ d $, czyli $ a = b = c = d $. Jeśli natomiast $ d = q $, to otrzymujemy $ 3d^3 = a^3 + b^3 + c^3 \leq 3d^3 $, co podobnie jak wyżej daje $ a = b = c = d $.

Analogicznie, korzystając z drugiego lub trzeciego równania dowodzimy, że $ a=b=c=d $, gdy któraś z liczb $ a $, $ b $ jest równa $ p $ lub $ q $. To kończy rozwiązanie zadania.

Komentarze

Inne rozwiązanie

Istnieje lepszy i ładniejszy od firmowego sposób rozwiązania tego zadania. Korzystamy w nim z nierówności między średnimi potęgowymi. POLECAM!!!

Inne rozwiązanie

Wg mnie to rozwiązanie jest bardzo brzydkie.
Można skorzystać tutaj z nierówności między średnimi potęgowymi.

Dodaj nową odpowiedź