LV OM - II - Zadanie 2

W sześciokącie wypukłym $ ABCDEF $ wszystkie boki są równej długości oraz

\[<br />
\measuredangle A + \measuredangle C + \measuredangle E = \measuredangle B + \measuredangle D + \measuredangle F.<br />
\]

Dowieść, że przekątne $ AD $, $ BE $ i $ CF $ przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Z danej w treści zadania równości kątów wynika, że $ \measuredangle B + \measuredangle D + \measuredangle F = 360^\circ $. Długości wszystkich boków danego sześciokąta są równe, więc z trójkątów $ ABC $, $ CDE $ oraz $ EFA $ można złożyć trójkąt $ PCE $ przystający do trójkąta $ ACE $ (rys. 1). Punkt $ D $ jest wówczas środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ PCE $. Niech $ O $ będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ACE $. Trójkąty $ ACE $ i $ PCE $ są przystające, więc promienie okręgów opisanych na tych trójkątach są równe.

om55_2r_img_1.jpg

Stąd wynika, że czworokąty $ AOEF $ i $ COED $ są rombami, a więc odcinki $ AF $, $ OE $ i $ CD $ są równe i równoległe. Zatem czworokąt $ ACDF $ jest równoległobokiem, co oznacza, że środki odcinków $ AD $ i $ CF $ pokrywają się. Analogicznie, środki odcinków $ AD $ i $ BE $ pokrywają się. Stąd wniosek, że proste $ AD $, $ BE $ i $ CF $ mają punkt wspólny, będący środkiem każdej z przekątnych $ AD $, $ BE $ i $ CF $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź