LV OM - II - Zadanie 3

Wyznaczyć liczbę ciągów nieskończonych $ a_1,a_2,a_3,\dots $ o wyrazach równych $ +1 $ i $ -1 $, spełniających równanie

\[<br />
a_{mn} = a_ma_n \ \textrm{dla}\ m,n = 1, 2,3,\ldots<br />
\]

oraz warunek: w każdej trójce kolejnych wyrazów $ (a_n, a_{n+1}, a_{n+2}) $ występuje zarówno $ +1 $, jak i $ -1 $.

Rozwiązanie

Niech $ (a_n) $ będzie takim ciągiem. Rozpoczniemy od wykazania, że

\[<br />
(1) \qquad a_{3k+1} \neq a_{3k+2}\ \textrm{dla}\ k = 1,2,3,\ldots.<br />
\]

Przypuśćmy, że $ a_{3k+1} = a_{3k+2} = a $. Wówczas musi być $ a_{3k} = a_{3k+3} = b $ oraz $ b \neq a $. Mnożąc powyższe równości przez $ a_2 $ uzyskujemy $ a_{6k+2} = a_{6k+4} = c $ oraz $ a_{6k} = a_{6k+6} = d $, przy czym $ c \neq d $. W trójce $ (a_{6k+2},a_{6k+3},a_{6k+4}) $ występuje +1 oraz -1, skąd wynika, że $ a_{6k+3} = d $. Zatem $ a_{6k} = a_{6k+3} = a_{6k+6} $. Dzieląc równości te stronami przez $ a_3 $ otrzymujemy $ a_{2k} = a_{2k+1} = a_{2k+2} $. Sprzeczność.

Następnie udowodnimy przez indukcję, że

\[<br />
(2) \qquad a_{3k+1} = 1,\ a_{3k+2} = -1 \ \textrm{dla}\ k = 0,1,2,3,\ldots.<br />
\]

Oczywiście $ a_1 = a_1^2 = 1 $; a z własności (1) wynika, że $ a_{50} \neq a_{49} = a^2_7 = 1 $, czyli $ a_{50} = -1 $; ale $ a_{50} = a_{2}a_{5}^2 = a_2 $, więc $ a_2 = -1 $; równości (2) zachodzą dla $ k = 0 $.

Ustalmy $ k \geq 1 $ i przyjmijmy, że $ a_{3i+1} = 1 $, $ a_{3i+2} = -1 $ dla $ i < k $. Zapiszmy liczbę $ k $ w postaci $ 2j $ lub $ 2j+1 $. Jeśli $ k = 2j $, to $ 3k + 2 = 2(3j + 1) $, i w konsekwencji $ a_{3k+2} = a_2a_{3j+1} = -1 $; jeśli zaś $ k = 2j + 1 $, to $ 3k + 1 = 2(3j + 2) $, więc $ a_{3k+1} = a_2a_{3j+2} = 1 $. W obu przypadkach została wykazana jedna z równości (2); druga jest wtedy wnioskiem z zależności (1). To kończy indukcyjny dowód tezy (2).

Niech $ a_3 = c $. Każda liczba naturalna $ n $ ma jednoznaczne przedstawienie w postaci $ n = 3^rm $, gdzie $ r > 0 $, a $ m $ nie dzieli się przez 3. Z warunku multyplikatywności wynika, że $ a_n = a_3^r a_m = c^ra_m $, i w myśl związków (2):

\[<br />
(3) \qquad a_n=\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
 c^r\ \textrm{dla}\ n = 3^r(3k + 1),\\<br />
-c^r\ \textrm{dla}\ n = 3^r(3k + 2).<br />
\end{array}\right.<br />
\]

Zatem ciąg $ (a_n) $ jest wyznaczony przez wartość $ c= a_3 $, która może być równa 1 lub -1. Na odwrót, zarówno dla $ c= 1 $, jak i dla $ c= -1 $, wzór (3) określa ciąg $ (a_n) $, spełniający zadane warunki. Są więc dwa takie ciągi.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź