LV OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie $ n $, mające dokładnie $ \sqrt{n} $ dzielników dodatnich.

Rozwiązanie

Liczba $ n = 1 $ spełnia warunki zadania. Załóżmy więc w dalszej części rozwiązania, że $ n >1 $.

Z warunków zadania wynika, że $ n = k^2 $ dla pewnej liczby całkowitej dodatniej $ k $. Liczba dzielników dodatnich liczby $ n $, mniejszych od $ k $, jest równa liczbie jej dzielników większych od $ k $. Istotnie: każdemu dzielnikowi $ d < k $ liczby $ n $ odpowiada dzielnik $ n/d $ liczby $ n $, który jest większy od $ k $. Dodatkowo sama liczba $ k $ jest dzielnikiem liczby $ n $, skąd wynika, że $ n $ ma nieparzystą liczbę dzielników. Zatem $ k $, a więc również $ n $, jest liczbą nieparzystą.

Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia takich liczb nieparzystych $ n = k^2 $ $ (n> 1) $, których liczba dzielników mniejszych od $ k $ jest równa $ \frac{1}{2} (k-1) $.

Ponieważ $ k^2 $ jest liczbą nieparzystą, więc żadna liczba parzysta nie jest dzielnikiem liczby $ k^2 $. Aby więc liczba dzielników mniejszych od $ k $ liczby $ k^2 $ była równa $ \frac{1}{2} (k-1) $, każda liczba nieparzysta mniejsza od $ k $ musi być dzielnikiem liczby $ k^2 $. W szczególności $ k^2 $ ma się dzielić przez $ k-2 $. Ponieważ $ k_2 = (k-2)(k+2)+4 $, więc liczba $ k-2 $ jest nieparzystym dzielnikiem liczby 4. To oznacza, że $ k - 2 = 1 $, czyli $ k = 3 $.

Bezpośrednio sprawdzamy, że liczba $ n = 3^2 = 9 $ spełnia warunki zadania. Zatem szukanymi liczbami są $ n = 1 $ i $ n = 9 $.

Komentarze

Inne rozwiązanie

Liczba $ n=1 $ spełnia warunki zadania. Załóżmy więc w dalszej części rozwiązania, że $ n>1 $.
Rozważmy rozkład liczby $ n $ na czynniki pierwsze:
$ n= \displaystyle \prod^{k}_{i=1}p_{i}^{\alpha_{i}} $
przy pewnym całkowitym dodatnim $ k $. Zgodnie ze znanym i łatwym do samodzielnego wyprowadzenia wzorem liczba dzielników wynosi:
$ \tau  \left(n \right) = \displaystyle \prod_{i=1}^{k}\left(1+\alpha_{i} \right) $
Zgodnie z warunkami zadania:
$ \sqrt{n}= \displaystyle \prod_{i=1}^{k}\left(1+\alpha_{i} \right) $
Liczba $ \sqrt{n} $, jako liczba wyrażająca liczbę dzielników, musi być liczbą całkowitą. Stąd $ n $ jest kwadratem liczby całkowitej, a zatem $ \alpha_{i}=2\beta_{i} $ dla każdego $ i=1, \ 2, \ \ldots , \ k $. Mamy więc:
$ \sqrt{n} = \displaystyle \prod_{i=1}^{k}\left(1+2\beta_{i} \right) $
Z drugiej zaś strony:
$ \sqrt{n} = \displaystyle \sqrt{\prod^{k}_{i=1}p_{i}^{2\beta_{i}}}=\prod^{k}_{i=1}p_{i}^{\beta_{i}} $
Zachodzi więc:
$ \displaystyle \prod^{k}_{i=1}p_{i}^{\beta_{i}} = \prod_{i=1}^{k}\left(1+2\beta_{i} \right) $
Liczba po prawej stronie znaku równości jako iloczyn liczb nieparzystych jest nieparzysta. Stąd i lewa strona równości jest nieparzysta, a zatem $ p_{i} \neq 2 $ dla każdego $ i=1, \ 2, \ \ldots , \ k $. Czyli $ p_{i} \ge 3 $ dla każdego $ i=1, \ 2, \ \ldots , \ k $, bo $ p_{i} $ jest liczbą pierwszą dla każdego $ i=1, \ 2, \ \ldots , \ k $. Zgodnie z poczynionymi obserwacjami, oraz znaną nierównością Bernoulliego mamy następujące szacowania:
$ \displaystyle \prod^{k}_{i=1}p_{i}^{\beta_{i}} \ge \displaystyle \prod^{k}_{i=1}3^{\beta_{i}} = \displaystyle \prod^{k}_{i=1}\left(1+2 \right)^{\beta_{i}} \ge \displaystyle \prod^{k}_{i=1}\left(1+2\beta_{i} \right) $
Zatem we wszystkich nierównościach muszą zachodzić równości, czyli $ p_{i}=3 $ i $ \beta_{i}=1 $ dla każdego $ i=1, \ 2, \ \ldots , \ k $. Ponieważ liczby $ p_{1}, \ p_{2}, \ \ldots , \ p_{k} $ są parami różne mamy $ k=1 $ i $ p_{1}=3 $. Zaś $ \alpha_{i}= 2 \beta_{i}= 2 \cdot 1 = 2 $. Zatem $ n=3^{2}=9 $. Szukanymi liczbami są $ n=1 $ i $ n=9 $.

Dodaj nową odpowiedź