- LX OM
- LIX OM
- LVIII OM
- LVII OM
- LVI OM
- LV OM
- LIV OM
- LIII OM
- LII OM
- LI OM
- L OM
- XLIX OM
- XLVIII OM
- XLVIII OM - I etap
- XLVIII OM - I - Zadanie 1
- XLVIII OM - I - Zadanie 2
- XLVIII OM - I - Zadanie 3
- XLVIII OM - I - Zadanie 4
- XLVIII OM - I - Zadanie 5
- XLVIII OM - I - Zadanie 6
- XLVIII OM - I - Zadanie 7
- XLVIII OM - I - Zadanie 8
- XLVIII OM - I - Zadanie 9
- XLVIII OM - I - Zadanie 10
- XLVIII OM - I - Zadanie 11
- XLVIII OM - I - Zadanie 12
- XLVIII OM - II etap
- XLVIII OM - III etap
- XLVIII OM - I etap
- XLVII OM
- XLVI OM
- XLV OM
- XLIV OM
- XLIII OM
- XLII OM
- XLI OM
- XL OM
- XXXIX OM
- XXXVIII OM
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVIII OM - I - Zadanie 1
- XXXVIII OM - I - Zadanie 2
- XXXVIII OM - I - Zadanie 3
- XXXVIII OM - I - Zadanie 4
- XXXVIII OM - I - Zadanie 5
- XXXVIII OM - I - Zadanie 6
- XXXVIII OM - I - Zadanie 7
- XXXVIII OM - I - Zadanie 8
- XXXVIII OM - I - Zadanie 9
- XXXVIII OM - I - Zadanie 10
- XXXVIII OM - I - Zadanie 11
- XXXVIII OM - I - Zadanie 12
- XXXVIII OM - II etap
- XXXVIII OM - III etap
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVII OM
- XXXVII OM - I etap
- XXXVII OM - I - Zadanie 1
- XXXVII OM - I - Zadanie 2
- XXXVII OM - I - Zadanie 3
- XXXVII OM - I - Zadanie 4
- XXXVII OM - I - Zadanie 5
- XXXVII OM - I - Zadanie 6
- XXXVII OM - I - Zadanie 7
- XXXVII OM - I - Zadanie 8
- XXXVII OM - I - Zadanie 9
- XXXVII OM - I - Zadanie 10
- XXXVII OM - I - Zadanie 11
- XXXVII OM - I - Zadanie 12
- XXXVII OM - II etap
- XXXVII OM - III etap
- XXXVII OM - I etap
- XXXVI OM
- XXXV OM
- XXXIV OM
- XXXIII OM
- XXXIII OM - I etap
- XXXIII OM - I - Zadanie 1
- XXXIII OM - I - Zadanie 2
- XXXIII OM - I - Zadanie 3
- XXXIII OM - I - Zadanie 4
- XXXIII OM - I - Zadanie 5
- XXXIII OM - I - Zadanie 6
- XXXIII OM - I - Zadanie 7
- XXXIII OM - I - Zadanie 8
- XXXIII OM - I - Zadanie 9
- XXXIII OM - I - Zadanie 10
- XXXIII OM - I - Zadanie 11
- XXXIII OM - I - Zadanie 12
- XXXIII OM - II etap
- XXXIII OM - III etap
- XXXIII OM - I etap
- XXXII OM
- XXXI OM
- XXX OM
- XXIX OM
- XXVIII OM
- XXVII OM
- XXVI OM
- XXV OM
- XXIV OM
- XXIII OM
- XXII OM
- XXI OM
- XX OM
- XIX OM
- XVIII OM
- XVII OM
- XVI OM
- XV OM
- XIV OM
- XIII OM
- XII OM
- XI OM
- X OM
- IX OM
- VIII OM
- VII OM
- V OM
- VI OM
- IV OM
- III OM
- II OM
- I OM
- Skład komitetów Olimpiady
- Zawody stopnia I (przygotowawcze)
- Zadania z pierwszej olimpiady matematycznej
- I OM - B
- I OM - B - Zadanie 1
- I OM - B - Zadanie 2
- I OM - B - Zadanie 3
- I OM - B - Zadanie 4
- I OM - B - Zadanie 5
- I OM - B - Zadanie 6
- I OM - B - Zadanie 7
- I OM - B - Zadanie 8
- I OM - B - Zadanie 9
- I OM - B - Zadanie 10
- I OM - B - Zadanie 11
- I OM - B - Zadanie 12
- I OM - B - Zadanie 13
- I OM - B - Zadanie 14
- I OM - B - Zadanie 15
- I OM - B - Zadanie 16
- I OM - B - Zadanie 17
- I OM - B - Zadanie 18
- I OM - B - Zadanie 19
- I OM - B - Zadanie 20
- I OM - I etap
- I OM - II etap
- I OM - III etap
- I OM - B
LV OM - II - Zadanie 4
Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie , mające dokładnie
dzielników dodatnich.
Rozwiązanie
Liczba spełnia warunki zadania. Załóżmy więc w dalszej części rozwiązania, że
.
Z warunków zadania wynika, że dla pewnej liczby całkowitej dodatniej
. Liczba dzielników dodatnich liczby
, mniejszych od
, jest równa liczbie jej dzielników większych od
. Istotnie: każdemu dzielnikowi
liczby
odpowiada dzielnik
liczby
, który jest większy od
. Dodatkowo sama liczba
jest dzielnikiem liczby
, skąd wynika, że
ma nieparzystą liczbę dzielników. Zatem
, a więc również
, jest liczbą nieparzystą.
Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia takich liczb nieparzystych
, których liczba dzielników mniejszych od
jest równa
.
Ponieważ jest liczbą nieparzystą, więc żadna liczba parzysta nie jest dzielnikiem liczby
. Aby więc liczba dzielników mniejszych od
liczby
była równa
, każda liczba nieparzysta mniejsza od
musi być dzielnikiem liczby
. W szczególności
ma się dzielić przez
. Ponieważ
, więc liczba
jest nieparzystym dzielnikiem liczby 4. To oznacza, że
, czyli
.
Bezpośrednio sprawdzamy, że liczba spełnia warunki zadania. Zatem szukanymi liczbami są
i
.
Komentarze
Inne rozwiązanie
Liczba
spełnia warunki zadania. Załóżmy więc w dalszej części rozwiązania, że
.
na czynniki pierwsze:

. Zgodnie ze znanym i łatwym do samodzielnego wyprowadzenia wzorem liczba dzielników wynosi:


, jako liczba wyrażająca liczbę dzielników, musi być liczbą całkowitą. Stąd
jest kwadratem liczby całkowitej, a zatem
dla każdego
. Mamy więc:



dla każdego
. Czyli
dla każdego
, bo
jest liczbą pierwszą dla każdego
. Zgodnie z poczynionymi obserwacjami, oraz znaną nierównością Bernoulliego mamy następujące szacowania:

i
dla każdego
. Ponieważ liczby
są parami różne mamy
i
. Zaś
. Zatem
. Szukanymi liczbami są
i
.
Rozważmy rozkład liczby
przy pewnym całkowitym dodatnim
Zgodnie z warunkami zadania:
Liczba
Z drugiej zaś strony:
Zachodzi więc:
Liczba po prawej stronie znaku równości jako iloczyn liczb nieparzystych jest nieparzysta. Stąd i lewa strona równości jest nieparzysta, a zatem
Zatem we wszystkich nierównościach muszą zachodzić równości, czyli
Dodaj nową odpowiedź