LV OM - II - Zadanie 5

Punkty $ D $ i $ E $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ CA $ trójkąta $ ABC $, przy czym $ BD = AE $. Odcinki $ AD $ i $ BE $ przecinają się w punkcie $ P $. Dwusieczna kąta $ ACB $ przecina odcinki $ AD $ i $ BE $ odpowiednio w punktach $ Q $ i $ R $. Wykazać, że

\[<br />
\frac{PQ}{AD} = \frac{PR}{BE}.<br />
\]

Rozwiązanie

Niech $ \ell $ będzie dowolną prostą prostopadłą do dwusiecznej kąta $ ACB $ (rys. 2). Oznaczmy przez $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D $', $ E' $, $ P' $ odpowiednio rzuty prostokątne punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ P $ na prostą $ \ell $.

Proste $ AC $ i $ BC $ tworzą równe kąty z prostą $ \ell $, zatem na mocy równości $ AE = BD $ mamy $ A'E' = B'D' $. Wobec tego $ A'D' = B'E' $. Stąd korzystając z twierdzenia Talesa uzyskujemy dowodzoną równość:

\[<br />
\frac{PQ}{AD} =\frac{C'P'}{A'D'} =\frac{C' P'}{B'E'} = \frac{PR}{BE}.<br />
\]

om55_2r_img_2.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź