LV OM - III - Zadanie 1

Punkt $ D $ leży na boku $ AB $ trójkąta $ ABC $. Okręgi styczne do prostych $ AC $ i $ BC $ odpowiednio w punktach $ A $ i $ B $ przechodzą przez punkt $ D $ i przecinają się po raz drugi w punkcie $ E $. Niech $ F $ będzie punktem symetrycznym do punktu $ C $ względem symetralnej odcinka $ AB $. Wykazać, że punkty $ D $, $ E $ i $ F $ leżą na jednej prostej.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że punkt $ E $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $. Wówczas

\[<br />
\measuredangle AED = 180^\circ - \measuredangle BAC \  \textrm{oraz} \  \measuredangle BED = 180^\circ -\measuredangle ABC.<br />
\]

Dodając równości te stronami mamy $ 180^\circ > \measuredangle AEB = 180^\circ + \measuredangle ACB > 180^\circ $. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że punkty $ C $ i $ E $ leżą po przeciwnych stronach prostej $ AB $ (rys. 1).

Z równości $ \measuredangle AEB = \measuredangle AED+\measuredangle DEB = \measuredangle BAC+\measuredangle ABC = 180^\circ - \measuredangle ACB $ wynika zatem, że punkty $ A $, $ E $, $ B $, $ C $ leżą, w tej właśnie kolejności, na jednym okręgu $ o $. Stąd wniosek, że punkt $ F $ leży również na okręgu $ o $, czyli

\[<br />
\measuredangle  FEB = \measuredangle  FAB = \measuredangle  CBD = \measuredangle  BED.<br />
\]

Równość ta oznacza, że punkty $ D $, $ E $ i $ F $ leżą na jednej prostej.

om55_3r_img_1.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź