LV OM - III - Zadanie 2

Niech $ W $ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, przyjmującym dla pewnych dwóch różnych liczb całkowitych wartości względnie pierwsze. Dowieść, że istnieje nieskończony zbiór liczb całkowitych, dla których wielomian $ W $ przyjmuje wartości parami względnie pierwsze.

Rozwiązanie

Ciąg różnych liczb całkowitych $ x_0, x_1, x_2, \ldots $ taki, że wartości $ W(x_i) $ są parami względnie pierwsze, zbudujemy indukcyjnie. Dwa początkowe wyrazy $ x_0 = a, x_1 = b $ to liczby, których istnienie jest dane w założeniach.

Przyjmijmy, że zostały już określone różne liczby $ x_0, x_1, \ldots, x_n $ dla których wartości $ y_i = W(x_i) $ są parami względnie pierwsze. Liczba $ y_0 $ jest względnie pierwsza z iloczynem $ y_1 y_2 \ldots y_n $; istnieją zatem takie liczby całkowite $ k $, $ m $, że $ ky_0 + my_1y_2 \ldots y_n = 1 $. Określamy kolejny wyraz ciągu:

\[<br />
x_{n+1} = b + (a - b)ky_0 + zy_0 y_1 \ldots y_n,<br />
\]

gdzie $ z $ jest liczbą naturalną tak dużą, żeby liczba $ x_{n+1} $ była różna od liczb $ x_0,x_1,\ldots ,x_n $. Oczywiście

\[x_{n+1} \equiv b\ (\mathrm{mod}\ y_0);<br />
\]

a z przekształcenia $ x_{n+1} = b + (a - b)(1 - my_1 y_2 \ldots y_n)+zy_0 y_1 \ldots y_n $ widać, że

\[<br />
x_{n+1} \equiv a\ (\textrm{mod}\ y_1 y_2 \ldots y_n).<br />
\]

Stosując do obu stron każdej z tych dwóch kongruencji wielomian $ W $ (co jest dozwolone, skoro kongruencje o wspólnym module można dodawać i mnożyć), dostajemy związki

\[<br />
W (x_{n+1}) \equiv W (b) \  (\mathrm{mod}\ y_0), \quad     W (x_{n+1}) \equiv W (a) \  (\mathrm{mod}\ y_1y_2 \ldots y_n).<br />
\]

To znaczy, że dla pewnych liczb całkowitych $ s $, $ t $ zachodzą równości

\[<br />
W (x_{n+1}) = W (b) + sy_0,\quad  W (x_{n+1}) = W (a) + ty_1y_2 \ldots y_n.<br />
\]

A ponieważ wartość $ W(b) = y_1 $ jest względnie pierwsza z $ y_0 $, zaś wartość $ W (a) = y_0 $ jest względnie pierwsza z iloczynem $ y_1y_2 \ldots y_n $, zatem z uzyskanych równości wynika, że wartość $ W(x_{n+1})= y_{n+1} $ jest względnie pierwsza zarówno z $ y_0 $, jak i z $ y_1 y_2 \ldots y_n $.

Kontynuując to postępowanie otrzymujemy nieskończony ciąg $ (x_i) $ dający wartości $ y_i = W(x_i) $ parami względnie pierwsze.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź