LV OM - III - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli $ a $, $ b $, $ c $ są liczbami rzeczywistymi, to

\[<br />
\begin{array}{l}<br />
\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}+\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+\sqrt{2(c^{2}+a^{2})}\geq \\<br />
\qquad \qquad \qquad \geq\sqrt{3(a+b)^{2}+3(b+c)^{2}+3(c+a)^{2}}.<br />
\end{array}<br />
\]

Rozwiązanie

Podnosząc zadaną nierówność stronami do kwadratu, dostajemy do udowodnienia nierówność równoważną, której lewa strona jest równa

\[<br />
4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4\sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}+4\sqrt{(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}+4\sqrt{(c^{2}+a^{2})(a^{2}+b^{2})},<br />
\]

natomiast prawa wynosi $ 6(a^2 + b^2 + c^2) + 6(ab+bc+ca) $. Po redukcji wyrazów podobnych i podzieleniu stronami przez 2 pozostaje do wykazania, że

\[<br />
\begin{array}{l}<br />
2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}+2\sqrt{(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}+2\sqrt{(c^{2}+a^{2})(a^{2}+b^{2})}\geq\\<br />
\qquad\qquad\qquad\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(ab+bc+ca).<br />
\end{array}<br />
\]

Na mocy nierówności $ \sqrt{2x^2 + 2y^2} \geq |x + y| $, prawdziwej dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x $, $ y $ (sprawdzenie przez podniesienie do kwadratu), dostajemy

\[<br />
2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}\geq|(a+b)(b+c)|\geq b^{2}+(ab+bc+ca).<br />
\]

Analogicznie uzyskujemy

\[<br />
2\sqrt{(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}\geq c^{2}+(ab+bc+ca), 2\sqrt{(c^{2}+a^{2})(a^{2}+b^{2})}\geq a^{2}+(ab+bc+ca).<br />
\]

Sumując stronami trzy ostatnie nierówności otrzymujemy tezę.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź