LV OM - III - Zadanie 5

Wyznaczyć największą liczbę prostych w przestrzeni, przechodzących przez ustalony punkt i takich, że każde dwie przecinają się pod jednakowym kątem.

Rozwiązanie

Niech $ \ell_1,\ldots,\ell_n $ będą prostymi, o jakich mowa, przechodzącymi przez wspólny punkt $ O $. Para przecinających się prostych wyznacza na zawierającej je płaszczyźnie cztery kąty: dwa kąty wierzchołkowe o mierze $ \alpha \leq 90^\circ $ i pozostałe dwa kąty o mierze $ 180^\circ - a $. Zgodnie z założeniem, wartość $ a $ jest dla każdej pary $ \ell_i, \ell_j $ taka sama.

Weźmy pod uwagę sferę $ S $ o środku $ O $ i dowolnym promieniu, i oznaczmy przez $ A_i $, $ B_i $ punkty przecięcia prostej $ \ell_i $ z tą sferą. Każdy z odcinków $ A_iA_j $, $ A_iB_j $, $ B_iB_j $ (dla $ i \neq j $) jest cięciwą sfery $ S $, wyznaczoną przez kąt środkowy o mierze $ \alpha $ lub $ 180^\circ - \alpha $. Zatem te odcinki mają co najwyżej dwie różne długości $ a $ i $ b $.

Ustalmy oznaczenia tak, by $ \measuredangle A_iOA_n = \alpha $ dla $ i = 1,\ldots,n-1 $. Wówczas punkty $ A_1, \ldots, A_{n-1} $ leżą na jednym okręgu (położonym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej $ \ell_n $). Niech $ A_1C $ będzie średnicą tego okręgu. Każdy z punktów $ A_2,\ldots,A_{n-1} $ leży w odległości $ a $ lub $ b $ od punktu $ A_1 $; wobec tego na każdym z dwóch półokręgów o końcach $ A_1 $ i $ C $ leżą co najwyżej dwa punkty ze zbioru $ \{A_2,\ldots ,A_{n-1}\} $. Stąd wniosek, że jest to zbiór co najwyżej czteroelementowy; a to znaczy, że $ n \leq 6 $.

Z drugiej strony, jeśli $ n = 6 $, to możemy umieścić punkty $ A_1,A_2,\ldots,A_5 $ w wierzchołkach pięciokąta foremnego, zaś płaszczyznę tego pięciokąta umieścić w takiej odległości od punktu $ A_6 $, aby te sześć punktów, wraz z antypodycznymi do nich punktami $ B_1,\ldots,B_6 $, były wierzchołkami dwudziestościanu foremnego. Odcinki $ A_iB_i $ (średnice sfery $ S $) łączą przeciwległe wierzchołki tego dwudziestościanu i każde dwa z nich tworzą jednakowy kąt. Zatem $ n = 6 $ jest największą możliwą liczbą prostych $ \ell_i $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź