LIV OM - I - Zadanie 1

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich $ x $, $ y $ spełniających równanie

\[<br />
(x + y)^2 - 2(xy)^2 = 1.<br />
\]

Rozwiązanie

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x,y \geq 2 $ mamy

\[<br />
(1) \qquad xy = x \cdot \frac{y}{2} + y \cdot \frac{x}{2} \geq x + y.<br />
\]

Zatem dla liczb rzeczywistych $ x,y \geq 2 $ prawdziwe są nierówności

\[<br />
2(xy)^2 + 1 > (xy)^2 \geq (x + y)^2 ,<br />
\]

co oznacza, że dane równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych (a nawet rzeczywistych) $ x,y \geq 2 $.

Wobec tego, jeśli para $ (x,y) $ liczb całkowitych dodatnich spełnia dane w treści zadania równanie, to jedna z liczb $ x $, $ y $ musi być równa 1. Przyjmijmy ze względu na symetrię, że tą liczbą jest $ x $. Dane równanie przyjmuje wówczas postać $ (y + 1)^2 - 2y^2 = 1 $. Po uproszczeniu dostajemy $ y^2 - 2y = 0 $, skąd $ y = 2 $.

Równanie ma więc dwa rozwiązania: $ x = 1 $, $ y = 2 $ oraz $ x = 2 $, $ y = 1 $.

Uwaga: Kluczem do rozwiązania zadania jest nierówność $ xy \geq x + y $ prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x,y \geq 2 $. Jej krótki dowód został przedstawiony w powyższym rozwiązaniu w linijce (1). Inny, równie krótki dowód to:

\[<br />
x,y \geq 2    \Rightarrow    (x - 1)(y - 1) \geq 1    \Leftrightarrow   xy \geq x + y.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź