LIV OM - I - Zadanie 2

Dana jest liczba rzeczywista $ a_1 > 1 $. Definiujemy ciąg $ (a_n) $ wzorem

\[<br />
a_{n+1} = a_n^2 - a_{n} + 1  \ \textrm{dla}\   n \geq 1.<br />
\]

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br />
\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<\frac{1}{a_1-1}.<br />
\]

Rozwiązanie

Niech $ b_n = a_n - 1 $. Wówczas daną w treści zadania zależność rekurencyjną możemy przepisać w postaci

\[<br />
b_{n+1} = b_n(b_n + 1) \ \textrm{dla}\   n \geq 1.<br />
\]

Z powyższego wzoru oraz z nierówności $ b_1 > 0 $ uzyskujemy przez indukcję nierówność $ b_n > 0 $ dla dowolnego $ n \geq 1 $. Ponadto

\[<br />
\frac{1}{b_{n}}-\frac{1}{b_{n+1}}=\frac{1}{b_{n}}-\frac{1}{b_{n}(b_n+1)}=\frac{b_n+1-1}{b_{n}(b_n+1)}=\frac{1}{b_n+1}=\frac{1}{a_n}.<br />
\]

Stąd otrzymujemy

\[<br />
\begin{array}{l}<br />
\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n} =\\<br />
\qquad=\left(\frac{1}{b_1} - \frac{1}{b_2} \right) + \left(\frac{1}{b_2} - \frac{1}{b_3} \right)+\left(\frac{1}{b_3} - \frac{1}{b_4}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{b_n} - \frac{1}{b_{n+1}} \right) =\\<br />
\qquad= \frac{1}{b_1} - \frac{1}{b_{n+1}} =<br />
 \frac{1}{a_1-1} - \frac{1}{b_{n+1}}<<br />
\frac{1}{a_1-1},<br />
\end{array}<br />
\]

czego należało dowieść.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź