LIV OM - I - Zadanie 3

Trzy różne punkty $ A $, $ B $, $ C $ leżą na okręgu $ o $. Proste styczne do okręgu $ o $ w punktach $ A $ i $ B $ przecinają się w punkcie $ P $. Prosta styczna do okręgu $ o $ w punkcie $ C $ przecina prostą $ AB $ w punkcie $ Q $. Udowodnić, że

\[<br />
PQ^2 = PB^2 + QC^2.<br />
\]

Rozwiązanie

om54_1r_img_1.jpg

Niech $ M $ będzie środkiem odcinka $ AB $ (rys. 1). Wówczas trójkąt $ PMQ $ jest prostokątny. Na mocy twierdzenia Pitagorasa oraz podobieństwa trójkątów $ QBC $ i $ QCA $ otrzymujemy

\[<br />
\begin{array}{rcl}<br />
PQ^2 &=& PM^2 + QM^2 = PB^2 - MB^2 + QM^2  \\<br />
  &=& PB^2 + (QM-MB )(QM+MB) \\<br />
  &=& PB^2 + QB \cdot QA = PB^2 + QC^2,<br />
\end{array}<br />
\]

co należało udowodnić.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź