LIV OM - I - Zadanie 5

Liczba naturalna $ n_1 $ zapisana jest w układzie dziesiętnym za pomocą 333 cyfr, z których żadna nie jest zerem. Dla $ i = 1 , 2, 3, \ldots , 332 $ liczba $ n_{i+1} $ powstaje z liczby $ n_i $ przez przeniesienie cyfry jedności na początek. Dowieść, że albo wszystkie liczby $ n_1, n_2, n_3, \ldots , n_{333} $ są podzielne przez 333, albo żadna z nich.

Rozwiązanie

Niech $ j_i $ $ (i = 1,2,3,\ldots ,333) $ oznacza cyfrę jedności liczby $ n_i $. Wówczas dla $ i =1,2,\ldots,332 $ mamy

\[<br />
(1) \qquad n_{i+1}=\frac{n_i+10^{333}j_i-j_i}{10},\ \textrm{skąd}\ 10n_{i+1}=n_i+(10^{333}-1)j_i.<br />
\]

Liczba $ 10^{333} - 1 = (10^3 - 1) \cdot (10^{330} + 10^{327} + 10^{324} +\ldots  + 10^3 + 1) $ jest podzielna przez 333 oraz liczby 10 i 333 są względnie pierwsze. Z drugiej równości (1) wynika zatem, że liczba $ n_i $ jest podzielna przez 333 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $ n_{i+1} $ jest podzielna przez 333.

Jeśli liczba $ n_1 $ jest podzielna przez 333, to na mocy powyższego stwierdzenia uzyskujemy (indukcyjnie) podzielność przez 333 każdej z liczb $ n_2, n_3, \ldots , n_{333} $. Jeżeli natomiast liczba $ n_1 $ nie dzieli się przez 333, to analogicznie jak wyżej wnioskujemy, że żadna z liczb $ n_2, n_3, \ldots , n_{333} $ nie dzieli się przez 333.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź