LIV OM - I - Zadanie 8

W czworościanie $ ABCD $ punkty $ M $ i $ N $ są odpowiednio środkami krawędzi $ AB $ i $ CD $. Punkt $ P $ leży na odcinku $ MN $, przy czym $ MP = CN $ oraz $ NP = AM $. Punkt $ O $ jest środkiem sfery opisanej na czworościanie $ ABCD $. Dowieść, że jeżeli $ O \neq P $, to $ OP \perp MN $.

Rozwiązanie

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

\[<br />
\alpha = \measuredangle OPM,\   a = AM = MB = NP, \  b = CN = ND = MP,   x = OP.<br />
\]

Wówczas na mocy twierdzenia cosinusów mamy

\[<br />
(1) \qquad OM^2 = b^2 + x^2 + 2bx \cos \alpha  \ \textrm{oraz}\   ON^2 = a^2 + x^2   2ax \cos \alpha .<br />
\]

Ponadto korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

\[<br />
(2) \qquad OM^2 + a^2 = OA^2 = OD^2 = ON^2 + b^2.<br />
\]

Odejmując stronami równości (1) oraz wykorzystując zależność (2) uzyskujemy $ 2(a + b)x \cos a = 0 $. Stąd $ \alpha = 90^\circ $, czyli $ OP \perp MN $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź