LIV OM - I - Zadanie 9

Znaleźć wszystkie wielomiany $ W $ o współczynnikach rzeczywistych, mające następującą własność: jeśli $ x+ y $ jest liczbą wymierną, to

\[<br />
W(x) + W(y)<br />
\]

jest liczbą wymierną.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że warunki zadania są spełnione przez każdy wielomian postaci $ W(x) = ax + b $, gdzie $ a $ i $ b $ są liczbami wymiernymi.

Udowodnimy, że są to wszystkie wielomiany o własności podanej w zadaniu.

Niech $ W $ będzie wielomianem spełniającym warunki zadania. Dla liczby wymiernej $ q $ rozważamy wielomian $ P(x) = W(q + x) + W(q - x) $. Wielomian $ P $ przyjmuje wartości wymierne dla wszystkich argumentów rzeczywistych $ x $, jest więc wielomianem stałym równym $ P(0) = 2W(q) $. Stąd wynika, że dla dowolnej liczby całkowitej $ n $ zachodzi równość $ W(n - 1) + W(n +1) = 2W(n) $, czyli

\[<br />
W(n) - W(n - 1) = W(n +1) - W(n).<br />
\]

Niech $ V(x) = W(x) - ax - b $, gdzie $ a = W(1) - W(0) $ oraz $ b = W(0) $. Wówczas $ V(0) = V(1) = 0 $ oraz dla dowolnej liczby całkowitej n zachodzi równość

\[<br />
V(n) - V(n - 1) = V(n +1) - V(n).<br />
\]

Zatem wielomian $ V $ przyjmuje wartość $ 0 $ dla wszystkich argumentów całkowitych, musi więc być wielomianem zerowym, a w konsekwencji $ W(x) = ax + b $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź