LIV OM - I - Zadanie 11

Dany jest czworokąt wypukły $ ABCD $. Punkty $ P $ i $ Q $, różne od wierzchołków czworokąta, leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ CD $, przy czym $ \measuredangle BAP = \measuredangle DAQ $. Udowodnić, że trójkąty $ ABP $ i $ ADQ $ mają równe pola wtedy i tylko wtedy, gdy ich ortocentra leżą na prostej prostopadłej do $ AC $.

Uwaga: Ortocentrum trójkąta to punkt przecięcia wysokości.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ K $, $ L $ rzuty prostokątne punktów $ A $, $ B $ odpowiednio na proste $ BC $, $ AP $ (rys. 3). Niech ponadto $ H $ oznacza ortocentrum trójkąta $ ABP $ oraz niech $ X $ będzie rzutem prostokątnym punktu $ H $ na prostą $ AC $.

Korzystając z podobieństwa trójkątów prostokątnych $ AHL $ i $ APK $ otrzymujemy

\[<br />
\frac{AH}{AL}=\frac{AP}{AK}.<br />
\]

om54_1r_img_3.jpg

Analogicznie, z podobieństwa trójkątów prostokątnych $ AHX $ i $ ACK $ uzyskujemy zależność

\[<br />
\frac{AH}{AX}=\frac{AC}{AK}.<br />
\]

Wprowadźmy następujące oznaczenie:

\[<br />
\alpha = \measuredangle BAP = \measuredangle DAQ.<br />
\]

Z nierówności $ \measuredangle BAD < 180^\circ $ wynika, że $ \alpha< 90^\circ $. Zatem

\[<br />
(1) \qquad AC\cdot AX = AH\cdot AK = AP\cdot AL = AP\cdot BL\cdot \mathrm{ctg} \alpha = 2 [ABP] \cdot \mathrm{ctg}\alpha,<br />
\]

gdzie $ [TUW] $ oznacza pole trójkąta $ TUW $.

Oznaczmy przez $ Y $ rzut prostokątny ortocentrum trójkąta $ ADQ $ na prostą $ AC $. Wówczas, analogicznie jak wyżej, otrzymujemy zależność

\[<br />
(2) AC \cdot AY = 2[ADQ] \cdot \mathrm{ctg} \alpha.<br />
\]

Porównując równości (1) oraz (2) wnioskujemy, że $ [ABP] = [ADQ] $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ AX = AY $. Ostatnia równość jest równoważna stwierdzeniu, że ortocentra trójkątów $ ABP $ i $ ADQ $ leżą na prostej prostopadłej do $ AC $, jeśli przekonamy się, że punkty $ X $ i $ Y $ leżą na prostej $ AC $ po tej samej stronie punktu $ A $.

W tym celu wykażemy, że punkt $ X $ leży na półprostej $ AC^\rightarrow $ Ponieważ $ \alpha< 90^\circ $, więc punkt $ H $ leży na półprostej $ AK^\rightarrow $. Ponadto trójkąt $ AKC $ jest prostokątny (lub $ K = C $), więc rzut prostokątny półprostej $ AK^\rightarrow $ na prostą $ AC $ pokrywa się z półprostą $ AC^\rightarrow $ Stąd bezpośrednio wynika, że punkt $ X $ leży na półprostej $ AC^\rightarrow $ Analogicznie dowodzimy, że punkt $ Y $ leży na półprostej $ AC^\rightarrow $, co kończy rozwiązanie zadania.

Uwaga: Rysunek 3 przedstawia przypadek, w którym trójkąty $ ABP $ i $ ADQ $ są ostrokątne. Zaprezentowane rozwiązanie pozostaje jednak w mocy dla każdej innej konfiguracji spełniającej warunki zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź