LIV OM - I - Zadanie 12

Dla liczb dodatnich $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ określamy

\[<br />
A = a^3 + b^3 + c^3 + d^3, \  B = bcd + cda + dab + abc.<br />
\]

Udowodnić nierówność

\[<br />
(a + b + c + d)^3 < 4A + 24B.<br />
\]

Rozwiązanie

Niech $ S = a + b + c + d $. Wtedy $ S^3 = A + 6B + 3Q $, gdzie

\[<br />
\begin{array}{rcl}<br />
Q &=& a^2(b+c + d)+ b^2 (c + d+a)+ c^2 (d+a + b) + d^2(a + b+c) = \\<br />
&=& a^2(S - a) + b^2(S - b)+ c^2(S - c) + d^2 (S - d) = \\<br />
&=& a(Sa - a^2) + b(Sb - b^2) + c(Sc - c^2) + d(Sd - d^2).<br />
\end{array}<br />
\]

Korzystając z nierówności

\[<br />
0\leq \left(x- \frac{S}{2} \right)^2=x^2-Sx+\frac{S^2}{4}<br />
\]

prawdziwej dla dowolnej liczby rzeczywistej $ x $ otrzymujemy

\[<br />
Sa - a^2 \leq \frac{S^2}{4},\  Sb-b^2 \leq \frac{S^2}{4},\  Sc - c^2 \leq \frac{S^2}{4} \ \textrm{oraz} \  Sd - d^2 \leq \frac{S^2}{4}.<br />
\]

Zatem

\[<br />
Q \leq (a + b+c + d) \cdot \frac{S^2}{4} = \frac{S^3}{4}, \  \textrm{skąd} \   S^3 \leq A + 6B + \frac{3S^3}{4} ,<br />
\]

co daje $ S^3 < 4A + 24B $, czyli nierówność, którą należało udowodnić.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź