LIV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że istnieje taka liczba całkowita $ n> 2003 $, że w ciągu

\[<br />
{n \choose 0},\ {n \choose 1}, {n \choose 2},\ldots ,{n \choose 2003}<br />
\]

każdy wyraz jest dzielnikiem wszystkich wyrazów po nim następujących.

Rozwiązanie

Liczba $ {n \choose {k+1}} $ jest podzielna przez $ {n \choose k}, $ wtedy i tylko wtedy, gdy liczba

\[<br />
\frac{{n \choose {k+1}}}{{n \choose k}}=\frac{n!}{(k+1)!\cdot(n-k-1)!}\frac{k!\cdot(n-k)!}{n!} =\frac{n-k}{k+1}=\frac{n+1}{k+1}-1<br />
\]

jest całkowita. Zatem liczba $ n $ spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $ n +1 $ jest podzielna przez każdą z liczb $ 1, 2, 3, 4, \ldots, 2003 $. Taką liczbą jest na przykład $ n = 2003! - 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź