LIV OM - II - Zadanie 2

Czworokąt $ ABCD $ jest wpisany w okrąg $ o $. Dwusieczne kątów $ DAB $ i $ ABC $ przecinają się w punkcie $ P $, a dwusieczne kątów $ BCD $ i $ CDA $ przecinają się w punkcie $ Q $. Punkt $ M $ jest środkiem tego łuku $ BC $ okręgu $ o $, który nie zawiera punktów $ D $ i $ A $. Punkt $ N $ jest środkiem tego łuku $ DA $ okręgu $ o $, który nie zawiera punktów $ B $ i $ C $. Dowieść, że punkty $ P $ i $ Q $ leżą na prostej prostopadłej do $ MN $.

Rozwiązanie

Załóżmy najpierw, że proste $ AD $ i $ BC $ są równoległe. Wówczas czworokąt $ ABCD $ jest trapezem równoramiennym. Jego podstawy $ BC $ i $ AD $ są prostopadłe do prostej $ MN $. Ponadto punkty $ P $ i $ Q $ leżą na prostej równoległej do podstaw trapezu i równoodległej od nich. Stąd teza.

om54_2r_img_1.jpg
om54_2r_img_2.jpg

Przyjmijmy z kolei, że proste $ AD $ i $ BC $ nie są równoległe i przecinają się w punkcie $ S $ (rys. 1). Punkt $ P $ jest środkiem okręgu stycznego do odcinków $ AB $, $ BC $, $ DA $, zaś punkt $ Q $ jest środkiem okręgu stycznego do odcinków $ CD $, $ BC $, $ DA $. Stąd wynika, że punkty $ P $, $ Q $ leżą na dwusiecznej kąta $ ASB $. Należy zatem wykazać, że dwusieczna ta jest prostopadła do prostej $ MN $.

Oznaczmy przez $ K $, $ L $ odpowiednio punkty przecięcia odcinka $ MN $ z prostymi $ BC $, $ AD $ (rys. 2). Zadanie będzie rozwiązane, jeśli wykażemy, że trójkąt $ SKL $ jest równoramienny.

Przez punkty $ M $ i $ N $ poprowadźmy proste styczne do danego okręgu. Proste te są równoległe odpowiednio do prostych $ BC $ i $ AD $ oraz wyznaczają - razem z prostą $ MN $ - trójkąt równoramienny $ MNX $. Stąd

\[<br />
\measuredangle SKL = \measuredangle XMN = \measuredangle XNM = \measuredangle SLK.<br />
\]

Otrzymana równość dowodzi, że trójkąt $ SKL $ jest równoramienny, co kończy rozwiązanie zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź