LIV OM - II - Zadanie 3

Dany jest wielomian $ W(x) = x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 9x $. Wyznaczyć wszystkie pary różnych liczb całkowitych $ a $, $ b $ spełniających równanie

\[<br />
W (a) = W (b).<br />
\]

Rozwiązanie

Zauważmy, że $ W(x) = (x - 1)(x - 2) (x^2 + 3) - 6 $ . Dla $ n> 3 $ zachodzą więc nierówności

\[<br />
\begin{array}{rcl}<br />
W(n) + 6 &=& (n - 1)(n - 2)(n^2 + 3) = (n^2 - 3n + 2)(n^2 + 3) < \\<br />
&<& (n^2 - 2n + 4)(n^2 + n) = n(n + 1)((n - 1)^2 + 3) =\\<br />
 &=& W (-n +1) + 6,<br />
\end{array}<br />
\]

a ponadto

\[<br />
\begin{array}{rcl}<br />
W(-n + 1) + 6 &<& (n^2 - n)(n^2 + 2n + 4)= n(n - 1)((n + 1)^2 + 3) = \\<br />
&=& W (n +1)+6.<br />
\end{array}<br />
\]

Stąd otrzymujemy

\[<br />
(1) \qquad W (3) < W (-2) < W (4) < W (-3) < W (5) < W (-4) < W (6) \ldots .<br />
\]

Zatem wartości wielomianu $ W $ w punktach $ -2, \pm 3, \pm 4, \ldots $ są parami różne. Bezpośrednio obliczamy, że

\[<br />
W (-1) = 18,\   W (0) = 0,\   W (1) = -6,\   W (2) = -6,\   W (3) = 18,<br />
\]

zaś z nierówności (1) wnioskujemy, że wartości wielomianu $ W $ w pozostałych punktach całkowitych są większe od $ W(3) = 18 $. Stąd otrzymujemy łącznie cztery pary liczb spełniających warunki zadania:

\[<br />
(-1,3),\   (3, -1),\   (1,2),\   (2,1).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź