LIV OM - II - Zadanie 4

Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej $ p > 3 $ istnieją liczby całkowite $ x $, $ y $, $ k $ spełniające warunki: $ 0 < 2k <p $ oraz

\[<br />
kp + 3 = x^2 + y^2 .<br />
\]

Rozwiązanie

Niech $ A $ będzie zbiorem liczb postaci $ x^2 $, gdzie $ 0 \leq x<p/2 $, natomiast $ B $ zbiorem liczb postaci $ 3 - y^2 $, gdzie $ 0 \leq y<p/2 $; liczby $ x $, $ y $ są całkowite. Wykażemy, że liczby ze zbioru $ A $ dają różne reszty z dzielenia przez $ p $.

Przypuśćmy, że liczby $ x_1^2 $, $ x_2^2 $ ze zbioru $ A $ dają taką samą resztę z dzielenia przez $ p $. Wtedy

\[<br />
p|x_1^2-x_2^2,<br />
\]

skąd mamy podzielność

\[<br />
p|(x_1-x_2)(x_1+x_2).<br />
\]

Ponieważ $ 0 \leq x_1 $, $ x_2 < p/2 $, więc $ -p/2 <x_1 - x_2 <p/2 $ oraz $ 0 \leq x_1 + x_2 < p $. Stąd oraz z powyższej podzielności wnioskujemy, że $ x_1 = x_2 $.

Zatem liczby ze zbioru $ A $ dają różne reszty z dzielenia przez $ p $. Analogicznie dowodzimy, że liczby ze zbioru $ B $ dają różne reszty z dzielenia przez $ p $.

Ponieważ zbiory $ A $ i $ B $ mają łącznie $ p +1 $ elementów, więc istnieją dwie liczby - jedna ze zbioru $ A $, druga ze zbioru $ B $ - dające z dzielenia przez $ p $ tę samą resztę. Niech $ x^2 $ i $ 3 - y^2 $ będą tymi liczbami. Wówczas liczba $ x^2 + y^2 - 3 $ jest podzielna przez $ p $, mamy więc

\[<br />
kp + 3 = x^2 + y^2<br />
\]

dla pewnej liczby całkowitej $ k $. Ponieważ $ p>3 $, więc $ k $ jest liczbą dodatnią oraz

\[<br />
k=\frac{x^2+y^2-3}{p}<\frac{(p/2)^2+(p/2)^2}{p}=\frac{p}{2}.<br />
\]

Warunki podane w treści zadania są więc spełnione.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź