LIV OM - III - Zadanie 1

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ odcinek $ CD $ jest wysokością. Przez środek $ M $ boku $ AB $ poprowadzono taką prostą przecinającą półproste $ CA $ i $ CB $ odpowiednio w punktach $ K $ i $ L $, że $ CK = CL $. Punkt $ S $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ CKL $. Wykazać, że $ SD = SM $.

Rozwiązanie

Z twierdzenia Menelausa zastosowanego do trójkąta $ ABC $ otrzymujemy

\[<br />
\frac{CK}{AK}\cdot\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BL}{CL}=1,\ \textrm{skąd}\ AK=BL.<br />
\]

Niech $ E $ będzie drugim punktem przecięcia prostej $ CS $ z okręgiem opisanym na trójkącie $ CKL $ (rys. 1). Z równości $ CK = CL $ wynika, że $ EK = EL $. Ponadto $ \measuredangle AKE = 90^\circ = \measuredangle BLE $.

Zatem trójkąty prostokątne $ AKE $ oraz $ BLE $ są przystające. Stąd uzyskujemy $ AE = BE $, czyli $ EM \perp AB $, a to daje $ CD \parallel EM $.

om54_3r_img_1.jpg

Ponieważ $ S $ jest środkiem odcinka $ CE $, więc jego rzut prostokątny na prostą $ AB $ pokrywa się ze środkiem odcinka $ DM $. Stąd $ SD = SM $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź