LIV OM - III - Zadanie 2

Liczba $ a $ jest dodatnia i mniejsza od 1. Dowieść, że dla każdego skończonego, ściśle rosnącego ciągu nieujemnych liczb całkowitych ($ k_1,\ldots,k_n $) zachodzi nierówność

\[<br />
\left( \sum_{i=1}^n a^{k_i} \right)^2 < \frac{1+a}{1-a} \sum_{i=1}^n a^{2k_i}.<br />
\]

Rozwiązanie

Stosujemy indukcję względem $ n $. Dla $ n =1 $ nierówność ma postać

\[<br />
1<\frac{1+a}{1-a}<br />
\]

i oczywiście jest spełniona. Ustalmy $ n \geq 2 $ i załóżmy, że nierówność jest spełniona dla każdego rosnącego ciągu długości $ n-1 $. Weźmy pod uwagę dowolny rosnący ciąg długości $ n $: $ 0 \leq k_1 <k_2 < \ldots <k_n $. Dzieląc dowodzoną nierówność stronami przez $ a^{2k_l} $ możemy bez straty ogólności przyjąć, że $ k_1 = 0 $. Wówczas

\[<br />
(1) \qquad \left( \sum_{i=1}^n a^{k_i} \right)^2=\left(1 + \sum_{i=2}^n a^{k_i} \right)^2=1+ 2\sum_{i=2}^n a^{k_i}+\left( \sum_{i=2}^n a^{k_i} \right)^2.<br />
\]

Z nierówności $ 0 <k_2 <k_3 < \ldots<k_n $ oraz $ 0 <a< 1 $ wynika, że

\[<br />
\sum_{i=2}^n a^{k_i} \leq \sum_{j=1}^{k_n} a^j <\frac{a}{1-a}.<br />
\]

Stąd, z równości (1) oraz z założenia indukcyjnego uzyskujemy

\[<br />
\left( \sum_{i=1}^n a^{k_i} \right)^2 < 1+ \frac{2a}{1-a} +\frac{1+a}{1-a} \sum_{i=2}^n a^{2k_i} = \frac{1+a}{1-a}\left(1+ \sum_{i=2}^n a^{2k_i}\right) = \frac{1+a}{1-a} \sum_{i=1}^n a^{2k_i}.<br />
\]

To kończy krok indukcyjny i rozwiązanie zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź