LIV OM - III - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie wielomiany $ W $ o współczynnikach całkowitych, spełniające następujący warunek: dla każdej liczby naturalnej $ n $ liczba $ 2^n-1 $ jest podzielna przez $ W(n) $.

Rozwiązanie

Niech $ W(x) = a_0 + a_1x +\ldots + a_rx^r $ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, spełniającym rozważany warunek. Przypuśćmy, że dla pewnej liczby naturalnej $ k $ wartość $ W(k) $ jest różna od $ 1 $ i od $ -1 $; ma więc dzielnik pierwszy $ p $. Niech $ m = k + p $. Różnica $ W(m) - W(k) $ jest sumą różnic postaci $ a_j(m^j - k^j) $, które są liczbami podzielnymi przez $ m - k $, czyli przez $ p $. Zatem $ W(m) $ dzieli się przez $ p $.

Z warunku zadania wynika, że $ p $ jest dzielnikiem liczb $ 2^k - 1 $ oraz $ 2^m - 1 $; jest więc nieparzystym dzielnikiem pierwszym liczby $ 2^m - 2^k = 2^k (2^p - 1) $, czyli jest dzielnikiem liczby $ 2^p - 1 $. To jednak nie jest możliwe, bowiem

\[<br />
2^p-1=1+{p \choose 1}+{p \choose 2}+\ldots+{p \choose {p-1}},<br />
\]

a wartości symbolu Newtona $ {p \choose i} $ są dla $ i = 1,\ldots,p- 1 $ liczbami podzielnymi przez $ p $.

Sprzeczność dowodzi, że $ W(n) = \pm 1 $ dla każdej liczby naturalnej $ n $. Stąd wniosek, że $ W $ jest wielomianem równym tożsamościowo $ 1 $ lub równym tożsamościowo $ -1 $. Oczywiście każdy z tych dwóch wielomianów spełnia postulowany warunek.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź