LIV OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba pierwsza p oraz takie liczby całkowite $ x $, $ y $, $ z $, że

\[<br />
0 <x <y < z <p.<br />
\]

Wykazać, że jeśli liczby $ x^3 $, $ y^3 $, $ z^3 $ dają takie same reszty przy dzieleniu przez $ p $, to liczba $ x^2 + y^2 + z^2 $ jest podzielna przez $ x + y + z $.

Rozwiązanie

Ponieważ liczba $ y^3 - x^3 = (y - x)(x^2 + xy + y^2) $ jest podzielna przez $ p $ oraz $ 0 <y - x<p $, więc liczba $ x^2 + xy + y^2 $ jest podzielna przez $ p $. Podobnie liczby $ y^2 + yz + z^2 $ oraz $ x^2 + xz + z^2 $ są podzielne przez $ p $. Zatem liczba

\[<br />
(x^2 + xy + y^2) - (y^2 + yz + z^2) = (x - z)(x + y + z)<br />
\]

jest również podzielna przez $ p $, co implikuje podzielność przez $ p $ liczby $ x+y+z $. Liczba ta jako mniejsza od $ 3p $ jest więc równa $ p $ lub $ 2p $.

Z podzielności przez $ p $ liczb $ x^2+xy+y^2 $, $ y^2+yz+z^2 $ oraz $ x^2+xz+z^2 $ wynika podzielność przez $ p $ ich sumy pomnożonej przez $ 2 $, czyli liczby

\[<br />
2(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + xy + yz + xz) =3(x^2 + y^2 + z^2) + (x + y + z)^2 .<br />
\]

Z danych w treści zadania nierówności wnioskujemy, że $ p> 3 $, co w połączeniu z powyższą równością dowodzi podzielności przez $ p $ liczby $ x^2 + y^2 + z^2 $.

Zatem w przypadku $ x + y + z = p $ zadanie zostało rozwiązane. Jeśli zaś $ x + y + z = 2p $, to z równości $ (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) $ wynika, że liczba $ x^2+y^2+z^2 $ jest parzysta. Jest ona również podzielna przez $ p $, a zatem dzieli się także przez $ x+ y+ z $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź