LIV OM - III - Zadanie 5

Sfera wpisana w czworościan $ ABCD $ jest styczna do ściany $ ABC $ w punkcie $ H $. Druga sfera jest styczna do ściany $ ABC $ w punkcie $ O $ oraz jest styczna do płaszczyzn zawierających pozostałe ściany tego czworościanu w punktach, które do czworościanu nie należą. Dowieść, że jeżeli $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, to $ H $ jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ K $ i $ L $ punkty styczności sfery wpisanej w czworościan $ ABCD $ odpowiednio ze ścianami $ ACD $ i $ BCD $. Niech ponadto $ P $ i $ Q $ będą punktami styczności drugiej rozważanej w treści zadania sfery, odpowiednio z płaszczyznami $ ACD $ i $ BCD $. Wówczas trójkąty $ KCP $ i $ LCQ $ są przystające (cecha bok-bok-bok). Obróćmy trójkąt $ KCP $ wokół prostej $ AC $ tak, aby punkt $ K $ przeszedł na punkt $ H $; niech przy tym obrocie $ P $ przejdzie na $ P' $. Podobnie, obróćmy trójkąt $ LCQ $ wokół prostej $ BC $ tak, aby punkt $ L $ przeszedł na punkt $ H $; niech przy tym obrocie $ Q $ przejdzie na $ Q' $.

Dalsza część rozwiązania rozgrywa się w płaszczyźnie trójkąta $ ABC $: Trójkąty $ HCP' $ i $ HCQ' $ są przystające, więc $ P'Q' \perp  CH $. Ponadto czworokąty $ AOCP' $ i $ BOCQ' $ są rombami, co implikuje $ AB \parallel P'Q' $. Zatem $ CH \perp AB $.

Analogicznie dowodzimy, że $ BH \perp AC $, a to oznacza, że $ H $ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $ ABC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź