LIII OM - II - Zadanie 1

Dana jest taka funkcja $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ zachodzą równości

\[<br />
f(x) = f(2x) = f(1 - x) .<br />
\]

Dowieść, że funkcja $ f $ jest okresowa.

Rozwiązanie

Na mocy danych w treści zadania równości, otrzymujemy dla dowolnej liczby rzeczywistej $ x $:

\[<br />
\begin{array}{rcl}<br />
f (x) &=& f (2x) = f (1 - 2x) =\\<br />
&=& f(\frac{1}{2} (1 - 2x)) = f(\frac{1}{2} -x) = f(1 - (\frac{1}{2} -x)) = f(x + \frac{1}{2}),<br />
\end{array}<br />
\]

co dowodzi, że funkcja $ f $ jest okresowa o okresie $ \frac{1}{2} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź