LIII OM - II - Zadanie 2

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ zachodzą równości

\[<br />
\measuredangle ADB = 2 \measuredangle ACB \  \textrm{oraz}\   \measuredangle BDC = 2\measuredangle BAC.<br />
\]

Udowodnić, że $ AD = CD $.

Rozwiązanie

Z danych w zadaniu równości kątów oraz z nierówności $ \measuredangle ADC < 180^\circ $ wynika, że

\[<br />
\measuredangle ACB + \measuredangle BAC = \frac{1}{2} (\measuredangle ADB + \measuredangle BDC) = \frac{1}{2} \measuredangle ADC < 90^\circ.<br />
\]

Kąty $ ACB $ i $ BAC $ są więc ostre, co oznacza, że środek $ O $ okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $ leży wewnątrz kąta $ ABC $ (rys. 1). Stąd w szczególności wynika, że punkty $ O $ i $ D $ leżą po tej samej stronie prostej $ BC $. Ponadto

\[<br />
\measuredangle BDC = 2\measuredangle BAC = \measuredangle BOC.<br />
\]

Zatem punkty $ B $, $ C $, $ O $, $ D $ leżą na jednym okręgu $ o_1 $.

om53_2r_img_1.jpg

Analogicznie dowodzimy, że punkty $ A $, $ B $, $ O $, $ D $ leżą na jednym okręgu $ o_2 $. Okręgi $ o_1 $ i $ o_2 $ są różne - w przeciwnym razie okrąg opisany na trójkącie $ ABC $ przechodziłby przez punkt $ O $, czyli swój środek. Okręgi $ o_1 $ i $ o_2 $ mają jednak trzy punkty wspólne: $ B $, $ D $ i $ O $. Ponieważ $ B \ne D $, więc musi być $ O = D $, czyli $ AD = CD $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź