LIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb pierwszych $ p \leq q \leq r $, że liczby

\[<br />
pq+r,\ pq+r^{2},\ qr+p,\ qr+p^{2},\ rp+q,\ rp+q^{2}<br />
\]

są pierwsze.

Rozwiązanie

Gdyby wszystkie trzy liczby pierwsze $ p $, $ q $, $ r $ były większe od $ 2 $, to liczba $ pq + r $ jako liczba parzysta większa od $ 2 $ byłaby złożona. Zatem co najmniej jedna z liczb $ p $, $ q $, $ r $ jest równa $ 2 $, co na mocy nierówności $ p \leq q \leq r $ daje $ p = 2 $.

Ponadto $ q> 2 $, gdyż przy $ q = 2 $ mielibyśmy $ qr + p = 2(r + 1) $, co jest liczbą złożoną.

Gdyby obie liczby pierwsze $ q $, $ r $ były większe od $ 3 $, to liczba $ qr $ byłaby niepodzielna przez $ 3 $, a zatem jedna z liczb $ qr+ 2 $, $ qr+ 4 $ byłaby podzielna przez $ 3 $ i większa od $ 3 $, czyli złożona. Stąd wynika, że jedna z liczb $ q $, $ r $ jest równa $ 3 $, co na mocy nierówności $ 2 < q \leq r $ daje $ q = 3 $.

Pozostało wyznaczyć wszystkie takie liczby pierwsze $ r \geq 3 $, aby liczby

\[<br />
(1) \qquad 6 + r,\   6 + r^2,\   3r + 2,\   3r + 4,\   2r + 3,\   2r + 9<br />
\]

były pierwsze.

Gdyby liczba pierwsza $ r $ była różna od $ 5 $, to przez $ 5 $ dzieliłaby się jedna z liczb $ r+ 1 $, $ r+ 2 $, $ r+ 3 $, $ r+ 4 $, a co za tym idzie, również jedna z liczb

\[<br />
\begin{array}{rcl}<br />
6+ r = (r+ 1) + 5 , &  2r+ 9 = 2(r+ 2) + 5 ,\\<br />
3r + 4 = 3(r + 3) - 5 , &  2r + 3 = 2(r + 4) - 5 .<br />
\end{array}<br />
\]

Zatem musi być $ r = 5 $. Wtedy liczby (1) przyjmują odpowiednio wartości $ 11 $, $ 31 $, $ 17 $, $ 19 $, $ 13 $, $ 19 $ i wszystkie one są pierwsze.

Odpowiedź: Warunki zadania spełnia jedna trójka $ (p,q,r) = (2,3,5) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź