LIII OM - II - Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie takie liczby naturalne n, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}, $ $ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n} $ zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad x_{1}x_{2}\ldots  x_{n}+y_{1}y_{2}\ldots y_{n}\leq\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\cdot\ldots\cdot\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}.<br />
\]

Rozwiązanie

Dla $ n = 1 $ dana nierówność przybiera postać

\[<br />
x_{1}+y_{1}\leq\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}},<br />
\]

co nie dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x $ , $ y $ jest prawdą - wystarczy przyjąć $ x_1 = y_1 = 1 $.

Wykażemy, że nierówność (1) jest prawdziwa, jeśli $ n \geq 2 $.

Jeśli któryś z czynników stojących po prawej stronie nierówności (1), np.

\[<br />
\sqrt{x_{k}^{2}+y_{k}^{2}}<br />
\]

jest równy $ 0 $, to obie liczby $ x_k $ i $ y_k $ muszą być zerami. Wtedy nierówność (1) jest spełniona.

Przyjmijmy więc, że liczba stojąca po prawej stronie nierówności (1) jest różna od $ 0 $, a zatem dodatnia. Wówczas dowodzoną nierówność możemy sprowadzić do postaci

\[<br />
(2)\qquad \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}} \cdot \ldots \cdot \frac{x_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}+ \frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\cdot\ldots\cdot \frac{y_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}\leq 1.<br />
\]

Podstawmy:

\[<br />
a_{k}=\frac{x_{k}^{2}}{x_{k}^{2}+y_{k}^{2}},\ b_{k}=\frac{y_{k}^{2}}{x_{k}^{2}+y_{k}^{2}}\ (k=1,2,\ldots,n).<br />
\]

Liczby $ a_{1},a_{2}, \ldots, a_{n}, $ $ b_{1},b_{2}, \ldots, b_{n} $ należą do przedziału $ \langle 0,1 \rangle $ oraz $ a_k + b_k = 1 $. Stąd oraz z nierówności pomiędzy średnią geometryczną a średnią arytmetyczną uzyskujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
\sqrt{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}+\sqrt{b_{1}b_{2} \ldots b_{n}}& \leq\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}+\sqrt[n]{b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}\leq\\<br />
&\leq\frac{1}{n}(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n})+\frac{1}{n}(b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n})=1,<br />
\end{split}<br />
\]

czyli

\[<br />
(3)\qquad \frac{|x_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\cdot\ldots \cdot\frac{|x_{n}|}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}} + \frac{|y_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\cdot\ldots \cdot \frac{|y_{n}|}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}\leq 1.<br />
\]

Lewa strona nierówności (2) jest nie większa niż lewa strona nierówności (3). To oznacza, że udowodniona właśnie nierówność (3) pociąga za sobą nierówność (2), a tym samym dowodzi nierówności (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź