LIII OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb naturalnych $ a $, $ b $, $ c $, że liczby $ a^2 +1 $ i $ b^2 +1 $ są pierwsze oraz

\[<br />
(a^2 + 1)(b^2 + 1) = c^2 + 1 .<br />
\]

Rozwiązanie

Bez szkody dla ogólności rozwiązania możemy założyć, że $ a \leq b $. Niech $ p = b^2 +1 $. Wówczas liczba $ (c^2 +1) - (b^2 + 1) = (c - b)(c + b) $ dzieli się przez $ p $. Z danej w treści zadania równości wynika, że $ b < c $. Ponadto

\[<br />
c=\sqrt{(a^{2}+1)(b^{2}+1)-1}\leq\sqrt{(b^{2}+1)^{2}-1}<b^{2}+1=p.<br />
\]

Stąd $ c - b < p $ oraz $ c + b < 2p $. Skoro $ p | (c - b)(c + b) $, więc musi być $ c + b = p $, czyli

\[<br />
(1) \qquad c = b(b -1) + 1.<br />
\]

Liczby $ a = b = 1 $ nie spełniają warunków zadania; możemy więc przyjąć, że $ b > 1 $. Wówczas $ p $ jest liczbą pierwszą nieparzystą. Z zależności (1) wynika, że $ c $ jest nieparzyste, a to dowodzi kolejno parzystości liczb $ c^2 + 1 $ oraz $ a^2 + 1 $. Liczba $ a^2 + 1 $ jest pierwsza, a więc $ a^2 + 1 = 2 $, skąd $ a = 1 $. Zatem dane w zadaniu równanie przybiera postać

\[<br />
(2) \qquad 2(b^2 + 1) = c^2 + 1.<br />
\]

Łącząc równości (1) i (2) uzyskujemy $ 2b^2 + 2 = b^2(b - 1)^2 + 2b(b - 1) + 2 $, czyli $ 2b = b(b - 1)^2 + 2b - 2 $. Stąd $ b $ jest dzielnikiem liczby $ 2 $, a ponieważ $ b> 1 $, więc musi być $ b = 2 $. To pociąga za sobą $ c = 3 $.

Pozostaje stwierdzić, że trójka $ (a,b,c) = (1,2,3) $ spełnia warunki zadania.

Uwalniając się od założenia $ a\leq b $ otrzymujemy dwie trójki $ (a,b,c) $ spełniające warunki zadania. Są nimi: $ (1, 2, 3) $ oraz $ (2, 1, 3) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź