LIII OM - III - Zadanie 2

Na bokach $ AC $ i $ BC $ trójkąta ostrokątnego $ ABC $ zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, prostokąty $ ACPQ $ i $ BKLC $ o równych polach. Udowodnić, że środek odcinka $ PL $, punkt $ C $ oraz środek okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $ leżą na jednej prostej.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ O $ środek okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $ (rys. 1). Uzupełnijmy trójkąt $ PCL $ do równoległoboku $ PCLX $. Wystarczy udowodnić, że punkty $ X $, $ C $, $ O $ są współliniowe.

Z równości pól danych prostokątów otrzymujemy

\[<br />
\frac{XL}{LC} =\frac{PC}{LC} =\frac{BC}{CA}.<br />
\]

Ponadto $ \measuredangle XLC = 180^\circ - \measuredangle PCL = \measuredangle BCA $. Uzyskane zależności dowodzą, że trójkąty $ XLC $ oraz $ BCA $ są podobne. Stąd oraz z równości $ BO = CO $ wynika kolejno, że

\[<br />
\measuredangle XCL = \measuredangle BAC = \frac{1}{2} \measuredangle BOC = 90^\circ - \measuredangle BCO,<br />
\]

czyli $ \measuredangle XCL + \measuredangle LCB + \measuredangle BCO = 180^\circ $. Ostatnia równość oznacza, że punkty $ X $, $ C $, $ O $ leżą na jednej prostej.

om53_3r_img_1.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź